Tìm kiếm
Đang tải khung tìm kiếm
Kết quả 1 đến 1 của 1

    THẠC SĨ Hàm tử Ext trong phạm trù các không gian lồi Địa phương

    D
    dream dream Đang Ngoại tuyến (18495 tài liệu)
    .:: Cộng Tác Viên ::.
  1. Gửi tài liệu
  2. Bình luận
  3. Chia sẻ
  4. Thông tin
  5. Công cụ
  6. Hàm tử Ext trong phạm trù các không gian lồi Địa phương

    Đề tài: Hàm tử Ext trong phạm trù các không gian lồi Địa phương
    LỜ I CẢ M Ơ N
    Đầu tiên, tôi xin gởi đến TS. Trần Huyên, Khoa Toán, Trường Đại Học Sư Phạm
    Tp. Hồ Chí Minh – người đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình hoàn thành
    luận văn này lòng biết ơ n chân thành và sâu sắc nhất.
    Tôi cũng xin chân thành cảm ơ n các thầy cô trong trường Đại Học Sư Phạm Tp.
    Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suố t quá tr ình học tập cũng
    như tìm tòi các tài liệu cho việc nghiên cứu.
    Vì kiến thức còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏ i nhữ ng thiế u sót, rấ t mong
    được sự chỉ bảo chân thành của các thầy, các cô và các bạn. - 2 -
    MỞ ĐẦ U
    Có nhữ ng cách khác nhau để xây d ng hàm t m r ng Ext trong ph m trù
    mô đun và mộ t trong các cách đó là xây dự ng b ng phép gi i xạ ả nh. Hơ n nữ a, ta
    bi t m t không gian lồ i đị a phư ơ ng có thể xem là mộ t mô đun tự do mà trên đó
    đư ợ c trang b m t tôpô lồ i đị a phư ơ ng nào đó. Bây gi n u ta thay phạ m trù mô đun
    b ng ph m trù các không gian lồ i đị a phư ơ ng, mà ta s kí hi u là ph m trù k, thì
    li u r ng có th xây dự ng đư ợ c hàm t Ext trong đó hay không? Theo đuổ i ý tư ở ng
    này, chúng tôi đã xây dự ng đư ợ c hàm t m r ng Ext trên ph m trù k và đó cũng
    là mụ c đích chính củ a cu n luậ n văn này.
    B c c luậ n văn đư ợ c chia làm hai chư ơ ng:
     Chư ơ ng 1: Kiế n th c chu n b .
    Trong chư ơ ng này chúng tôi trình bày mộ t cách khái quát con đư ờ ng xây d ng
    hàm t Ext trong phạ m trù mô đun. Đồ ng th i chúng tôi cũng giớ i thi u m t s khái
    ni m và tính chấ t cơ bả n liên quan đế n không gian lồ i đia phư ơ ng. Qua đó trình bày v
    ph m trù các không gian lồ i đị a phư ơ ng k nh m lấ y làm cơ sở cho vi c xây d ng hàm
    t Ext trong chính k sau này.
     Chư ơ ng 2: Xây dự ng hàm t Ext trong ph m trù các không gian lồ i đị a
    phư ơ ng.
    Mụ c đích củ a cu n luậ n văn này là xây dự ng hàm t Ext trên k và đư ợ c trình bày
    rõ trong chư ơ ng hai này. Ở chư ơ ng này chúng tôi sẽ gi i thi u môt s khái ni m và
    tính ch t v không gian tôpô thu n nh t, v t xạ ả nh tư ơ ng đố i từ đó đư a ra cách xây
    d ng hàm t Ext b ng phép gi i xạ ả nh tư ơ ng đố i.- 3 -
    Chư ơ ng I
    KI N TH C CHU N B
    Mụ c đích củ a chư ơ ng này gồ m hai ph n chính: trình bày cách xây d ng hàm t m
    r ng
    n
    Ext trong phạ m trù mô đun bằ ng phép gi i xạ ả nh và m t s khái ni m, tính ch t
    cơ bả n c a ph m trù các không gian lồ i đị a phư ơ ng. Các chứ ng minh đã đư ợ c làm rõ
    trong       1 , 2 , 3 nên vi c trình bày ch nh m mụ c đích nhắ c l i chứ không đi sâu vào
    chi ti t.
    Trong su t quy n lu n văn này khi ta nói không gian tôpô X thì kí hi u sX
    là nói
    không gian tôpô trên X, và nói không gian vectơ thì ta hi u là không gian vectơ trên
    trư ờ ng s th c .
    Ta xác đị nh R là vành h tử cho các mô đun đư ợ c nói đế n trong bài viế t này. Để
    đơ n giả n ta s g i các R  mô đun trái là các mô đun, các R  đồ ng cấ u là các đồ ng c u.
    §1. PHỨ C VÀ ĐỒ NG ĐIỀ U
    1.1.1 Ph m trù các ph c
    Đị nh nghĩa 1.1.1.1
    M t ph c h p dây chuyề n các mô đun là h   , Xn n
     gồ m các mô đun Xn

    các đồ ng c u
    1
    :
    n n n X X 
      , đư ợ c cho theo t t c các số nguyên n, hơ n nữ a
    1
    . 0
    n n
       . Như vậ y, ph c h p X là m t dãy vô t n về hai đầ u:
    1
    1 1
    : .
    n n
    X X X X n n n

           
    , trong đó tích hai đồ ng c u n i ti p nhau
    b ng 0.- 4 -
    Đị nh nghĩa 1.1.1.2
    Cho   , X X  
    n n
    và   , X Xn n
         là các ph c. M t biế n đổ i dây chuy n
    f X X :   là họ các đồ ng c u   :
    n n n
    f X X   sao cho
    n n n n 1
    f f

        đố i v i m i n.
    Điề u kiệ n sau cùng tư ơ ng đư ơ ng vớ i điề u ki n biể u đồ (1.1) sau giao hoán:
    (1.1)
    Về sau này, đôi khi để gi n ti n chúng ta không vi t các ch số các đồ ng cấ u, như
    v y các , ,
    n n n
      f có thể đư ợ c vi t mộ t cách đơ n giả n là  , , f . Tuy nhiên trong
    m i m t h thứ c đồ ng c u, chúng ta ph i ngầ m đị nh là chúng phả i đư ợ c đánh số theo
    các ch s nào.
    D th y r ng tích hai biế n đổ i dây chuy n là m t biế n đổ i dây chuy n và tích các
    biế n đổ i dây chuy n có tính ch t k t h p.
    Để ý thêm r ng, v i m i ph c   , X X  
    n n
    , họ các đồ ng cấ u đồ ng nh t
    1 1 :
    X X n n   n
      X X là m t bi n đổ i dây chuy n có tính ch t 1 .
    X
    f f  và .1
    X
    g g 
    n u các tích 1 .
    X
    f , .1
    X
    g là xác đị nh. T nhữ ng điề u trên ta th y l p t t c các ph c l p
    thành m t ph m trù v i các c u x là các biế n đổ i dây chuy n.
    1.1.2 Đồ ng luân dây chuy n
    Đị nh nghĩa 1.1.2.1
    Cho các biế n đổ i dây chuy n f g X X , :   t ph c   , X X  
    n n
    t i ph c
      , X Xn n
         . Họ các đồ ng c u  1
    :
    n n n n
    s s X X  
      

    đư ợ c g i là m t đồ ng luân
    dây chuy n gi a hai biế n đổ i dây chuy n f g, sao cho
    n n n n n n 1 1
    s s f g
     
          đố i v i
    m i n. Khi đó ta viế t: s f g :  .
    1
    1
    1 1
    1 1
    1 1
    : .
    : .
    n n
    n n
    n n n
    n n n
    n n n
    f f f
    X X X X
    X X X X


     
     
     
       
     
      
       
           - 5 -
    Đị nh lí 1.1.2.2
    N u s f g :  là mộ t đồ ng luân dây chuy n gi a các biế n đổ i dây chuy n
    f g X X , :   và s f g    :  là đồ ng luân dây chuy n gi a các biế n đổ i dây chuy n
    f g X X     , :  , thì đồ ng c u f s s g f f g g      :  là đồ ng luân dây chuy n gi a
    f f g g X X    , :  .
    Có th th y r ng quan hệ đồ ng luân dây chuy n gi a các biế n đổ i dây chuy n t
    ph c X t i ph c X  là m t quan hệ tư ơ ng đư ơ ng.
    Đị nh nghĩa 1.1.2.3
    Cho X X ,  là các ph c, biế n đổ i dây chuy n f X X :   đư ợ c g i là m t tư ơ ng
    đư ơ ng dây chuyề n n u t n t i biế n đổ i dây chuy n h X X :   và các đồ ng luân dây
    chuy n : 1
    X
    s hf  và : 1
    X
    t fh  
    .
    Hai ph c X và X  mà có mộ t tư ơ ng đư ơ ng dây chuyề n gi a chúng f X X :  
    thì đư ợ c g i là hai ph c tư ơ ng đư ơ ng đồ ng luân v i nhau và ta vi t: X X   .
    Hi n nhiên r ng, quan hệ tư ơ ng đư ơ ng đồ ng luân gi a các ph c là m t quan h
    tư ơ ng đư ơ ng. Nó thự c hi n s phân ho ch l p các ph c thành l p các b ph n, m i b
    ph n g m nh ng phứ c tư ơ ng đư ơ ng đồ ng luân.
    1.1.3 Các hàm tử đồ ng điề u
    Đị nh nghĩa 1.1.3.1
    Cho ph c   , X X  
    n n
    , đồ ng điề u H X là họ các mô đun:
     
    1 1
    n
    n
    n n
    Ker
    H X
      X



    (1.2)
    Mô đun thư ơ ng H X n   đư ợ c g i là mô đun đồ ng điề u th n c a ph c X.
    Các ph n t củ a mô đun con Ker
    n
     đư ợ c g i là các chu trình n – chi u, còn các ph n
    t củ a mô đun con 
    n n   1 1 X đư ợ c g i là các b n – chi u. Khi đó H X n   là mô đun
    thư ơ ng củ a mô đun các chu trình theo mô đun con các bờ . L p ghép c a chu trình c- 6 -
    trong H X n   đư ợ c vi t là clsc hay  c .
    Ta nói r ng các chu trình n – chi u c và c thu c cùng m t lớ p đồ ng điề u
      clsc clsc   là đồ ng điề u v i nhau   c c   ; điề u này x y ra khi và ch khi
    n 1
    c c X     .
    Cho các ph c   , X X  
    n n
    ,   , X Xn n
         và f X X :   là m t biế n đổ i dây
    chuy n. Từ đó vớ i m i s nguyên n, ánh x       : H f H X H X n n n   , mà
    H f c X f c X n n n        
      1 1     hay H f clsc cls f c
    n         , là mộ t đồ ng c u
    đư ợ c c m sinh b i biế n đổ i dây chuy n f. D dàng kiể m tra để th y rằ ng, các đồ ng c u
    c m sinh này th a các h th c:   1 1
    n
    Hn X H  và       . H gf H g H f
    n n n  . Do v y,
    v i m i n , Hn
    tr thành m t hàm t hi p bi n t ph m trù các ph c và các bi n
    đổ i dây chuy n t i phạ m trù các mô đun, tư ơ ng ứ ng m i ph c X vớ i mô đun đồ ng điề u
    H X n   và tư ơ ng ứ ng v i m i biế n đổ i dây chuy n f X X :   vớ i đồ ng c u
          : H f H X H X n n n   .
    Ta g i chúng là các hàm tử đồ ng điề u. Liên quan t i các hàm tử đồ ng điề u Hn
    ta có:
    Đị nh lí 1.1.3.2
    N u f g X X , :   là các bi n đổ i đồ ng luân dây chuy n t ph c X t i ph c X 
    thì v i m i n ta có:         : H f H g H X H X n n n n    .
    H qu 1.1.3.3
    N u f X X :   là mộ t tư ơ ng đư ơ ng dây chuyề n thì v i m i n , đồ ng c u
          : H f H X H X n n n   là đẳ ng c u.
    1.1.4 Đố i đồ ng điề u
    Cho ph c   , X X  
    n n
    các mô đun và G là mộ t mô đun. Ta xây d ng nhóm aben
      , Hom X Gn
    mà các ph n t củ a nó là các đồ ng cấ u mô đun :
    n
    f X G  ; sẽ đư ợ c g i- 7 -
    là các đố i dây chuy n n – chi u c a ph c X. Đố i b củ a đồ ng c u f đó là đố i dây
    chuy n (n + 1) – chi u:
       
    1
    1 1
    1 . :
    n
    n
    n n  f f X G

         
    D th y
    1
    . 0
    n n
     

     nên dãy
         
    1
    1 1
    , , , .
    n n
    Hom X G Hom X G Hom X G n n n
     

         
    là ph c h p các nhóm aben, đư ợ c g i là Hom X G   , ; hơ n nữ a theo như thông lệ m i
    m t nhóm sẽ đư ợ c vi t theo ch s trên:   , ,  
    n
    Hom X G Hom X G  n
    . N u ph c X là
    dư ơ ng theo chỉ số dư ớ i thì ph c Hom X G   , là dư ơ ng theo chỉ s trên.
    Đị nh nghĩa 1.1.4.1
    Đồ ng điề u c a ph c Hom X G   , đư ợ c g i là đố i đồ ng điề u c a ph c X v i h s
    trong G. Đó là họ các nhóm aben đư ợ c đánh số theo ch s trên:
         
      1
    , ,
    ,
    n
    n n
    n
    H X G H Hom X G Ker
    Hom X G



      (1.3).
    Các ph n t c a
    n
    Ker đư ợ c gọ i là đố i chu trình n – chi u, còn các ph n t c a
      1
    , Hom X G n 

    đư ợ c gọ i là đố i b n – chiề u. Như vậ y mộ t đố i chu trình n – chi u là
    mộ t đồ ng c u :
    n
    h X G  sao cho h  0.
    M i biế n đổ i dây chuy n f X X :   c m sinh biế n đổ i dây chuy n
    Hom f Hom X G Hom X G       ,1 : , ,   mà v i m i s nguyên n ta có:
          ,1 : , , :
    n
    Hom f Hom X G Hom X G f   n
       .
    Để ý thêm r ng, biế n đổ i dây chuy n Hom f   ,1 s c m sinh, v i m i n ,
    đồ ng c u    
    *
    : , ,
    n n
    f H X G H X G   mà:
         
    *
    1 1
    , ,
    n n
    f c Hom X G cf Hom X G  
           hay    
    *
    f clsc cls cf  (1.4).
    Hơ n nữ a, v i b t kì ph c X thì m i đồ ng c u h G G :   c m sinh biế n đổ i dây- 8 -
    chuy n Hom h Hom X G Hom X G       1, : , ,   mà v i m i s nguyên n ta có:
          1, : , , :
    n
    Hom h Hom X G Hom X G h      .
    Tư ơ ng tự , biế n đổ i dây chuy n Hom h   1, s c m sinh, v i m i n , đồ ng c u
    *
    : , ,    
    n n
    h H X G H X G   mà:
    * 1       1
    , ,
    n n
    h c Hom X G hc Hom X G  
           hay h clsc cls hc
    *      (1.5).
    Vì v y Hom X G   , và   ,
    n
    H X G là các song hàm t , hi p bi n theo G và ph n
    bi n theo X.
    Mệ nh đề 1.1.4.2
    N u s f g :  là đồ ng luân thì bằ ng cách đặ t  
    1
    1 *
    1
    n
    n
    n
    t s
     
      ta có đồ ng luân
    * *
    t f g :  .
    Mệ nh đề 1.1.4.3
    N u X X,  là hai phứ c tư ơ ng đư ơ ng đồ ng luân thì các ph c nhóm aben
    Hom X G Hom X G     , , , cũng tư ơ ng đư ơ ng đồ ng luân.
    Mệ nh đề 1.1.4.4
    N u X X,  là hai phứ c tư ơ ng đư ơ ng đồ ng luân thì v i m i n ta có đẳ ng c u
    nhóm giữ a các nhóm đố i đồ ng điề u:     , ,
    n n
    H X G H X G   .- 9 -
    §2. XÂY D NG HÀM T EXT TRONG PH M TRÙ
    MÔ ĐUN
    Có nhữ ng cách khác nhau để xây d ng hàm t
    n
    Ext (m t trong hai tr c t c a hàm s
    đồ ng điề u), tuy nhiên ở đây ta chỉ trình bày phép d ng hàm t này b ng phép gi i x
    nh. Vì v y, chúng ta s bắ t đầ u b ng các khái ni m và tính ch t v phép gi i xạ ả nh.
    1.2.1 Phép gi i xạ ả nh
    Đị nh nghĩa 1.2.1.1
    Cho A là mộ t mô đun tùy ý, ta g i phép gi i xạ ả nh c a A là m t dãy kh p các
    mô đun xạ ả nh và các đồ ng c u:
    1 1 0
    0 X X X X A n n
             
    (1.6)
    Nói riêng, n u Xn
    là mô đun tự do ( t.ư . mô đun xạ ả nh) v i m i n  0 thì (1.6)
    đư ợ c g i là m t phép gi i tự do (t.ư . phép giả i xạ ả nh) củ a mô đun A.
    Từ “tính đủ nhi u củ a các mô đun tự do”, nghĩa là “mỗ i mô đun X đẳ ng c u v i
    mô đun thư ơ ng củ a m t mô đun tự do nào đó”, ta có đị nh lí sau khẳ ng đị nh s t n t i
    c a phép gi i xạ ả nh.
    Đị nh lí 1.2.1.2
    M i mô đun A đề u có m t phép gi i t do.
    Theo đị nh lí 2.1.3 ta đã chứ ng minh đư ợ c s t n t i phép gi i xạ ả nh củ a mô đun
    A. Sau đây chúng ta sẽ ch ng t tính duy nh t c a phép gi i xạ ả nh, theo nghĩa hai
    phép gi i xạ ả nh b t kì c a cùng mộ t mô đun A đề u tư ơ ng đư ơ ng đồ ng luân. Ta có
    đư ợ c điề u này nh các mệ nh đề sau:
    Mệ nh đề 1.2.1.3
    Cho h A B :  là đồ ng c u củ a mô đun A vào mô đun B bấ t kì và
    1 1 0
    0 X X X X A n n
             
    là m t phép gi i xạ ả nh b t kì c a A,


    Xem Thêm: Hàm tử Ext trong phạm trù các không gian lồi Địa phương
    Nội dung trên chỉ thể hiện một phần hoặc nhiều phần trích dẫn. Để có thể xem đầy đủ, chi tiết và đúng định dạng tài liệu, bạn vui lòng tải tài liệu. Hy vọng tài liệu Hàm tử Ext trong phạm trù các không gian lồi Địa phương sẽ giúp ích cho bạn.
    #1
  7. Đang tải dữ liệu...

    Chia sẻ link hay nhận ngay tiền thưởng
    Vui lòng Tải xuống để xem tài liệu đầy đủ.

    Gửi bình luận

    ♥ Tải tài liệu

social Thư Viện Tài Liệu

Từ khóa được tìm kiếm

Nobody landed on this page from a search engine, yet!

Quyền viết bài

  • Bạn Không thể gửi Chủ đề mới
  • Bạn Không thể Gửi trả lời
  • Bạn Không thể Gửi file đính kèm
  • Bạn Không thể Sửa bài viết của mình
  •  
DMCA.com Protection Status