Tìm kiếm
Đang tải khung tìm kiếm
Kết quả 1 đến 1 của 1

    THẠC SĨ Bài toán biên dạng tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc nhất tuyến tính

    D
    dream dream Đang Ngoại tuyến (18495 tài liệu)
    .:: Cộng Tác Viên ::.
  1. Gửi tài liệu
  2. Bình luận
  3. Chia sẻ
  4. Thông tin
  5. Công cụ
  6. Bài toán biên dạng tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc nhất tuyến tính

    Đề tài: Bài toán biên dạng tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc nhất tuyến tính

    LỜ I CẢ M Ơ N Đầ u tiên tôi xin bày tỏ lòng biế t ơ n sâu sắ c nhấ t đế n PGS.TS Ngu yễ n Anh Tuấ n,
    ngư ờ i đã tậ n tâm hư ớ ng dẫ n và tạ o mọ i đi ều kiện tố t nhấ t có thể giúp tôi hoàn thành luậ n v ăn
    này.
    Tôi xin gửi lời cảm ơ n đến Quý Thầy Cô trong Hội đồ ng chấ m luậ n v ăn đã dành thờ i
    gian đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến giúp cho tôi hoàn thành luậ n văn này mộ t cách hoàn
    chỉ nh.
    Tôi xin cả m ơ n Ban Giám Hiệ u, Phòng KHCN – Sau Đạ i họ c cùng toàn thể thầy cô
    khoa Toán – Tin học trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã giảng dạy và tạo mọi
    điề u kiệ n tố t nhấ t cho tôi trong suố t thờ i gian nghi ên cứu đề tài.
    Tôi cũng chân thành cảm ơ n gia đình, các anh chị và các bạn đồ ng nghiệ p đã độ ng viên,
    giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
    Cuối cùng, trong quá trình viết luận văn này khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong
    nhận được sự góp ý của Quý Thầy Cô và bạn đọc nhằm bổ sung và hoàn thiện đề tài hơ n.
    Xin chân thành cảm ơ n.
    Tp Hồ Chí Minh tháng 3 năm 2011 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU
    ¥ Tập hợ p số tự nhiên.
    R Tập hợp số thực.
    [0, ) R+ = +∞ Tập hợp số thực không âm.
    ( ,0] Rư = ư∞ Tập hợp số thực không dư ơ ng.
    A Bao đóng của tập A.
    C a b R ([ , ;] ) Không gian Banach các hàm liên tục v a b R : , [ ] →
    với chuẩn v v t a t b
    C
    = ≤ ≤ max ( ) : { }
    C a b D ([ , ;] ) Không gian các hàm liên tục v a b D : , [ ] → , D R ⊆
    C a b D λµ ([ , ;] ) Không gian các hàm liên tục v a b D : , [ ] →
    thỏa mãn điều kiện λ µ v a v b ( ) ( ) 0 + =
    C a b D ([ , ;] ) Tập các hàm liên tục tuyệt đối v a b D : , [ ] → .
    λµ ([ , ;] )
    i
    B a b R c
    Tập các hàm v C a b R ∈ ([ , ;] ) thoả mãn điều kiện
     +  ư + ư ≤ λ µ λ µ ( ) ( ) sgn 2 1 (( ) ( ) ( ) ( ))  
    v a v b i v a i v b c
    trong đó λ µ, ,c R ∈ và i ∈{1,2}.
    L a b R ([ , ;] ) Không gian Banach các hàm khả tích Lebesgue
    p a b R : , [ ] → với chuẩn = ( ) .

    b
    L
    a
    p p s ds
    L a b D ([ , ;] ) Không gian các hàm p a b D : , [ ] → khả tích Lebesgue, D là tập con của R.
    Mab
    Tập các hàm đo được τ : , , ; [a b a b ] →[ ]
    Lab
    Tập các toán tử l : , ; , ; C a b R L a b R ([ ] ) → ([ ] )
    tuyến tính bị chặn sao cho với mỗi l tồn tại
    η ∈ L a b R ([ , ;] + )thoả mãn bất đẳng thức
    l ( )( ) ≤ ∀ ∈ ∈ η ( ) [ , , , ; ] ([ ] )
    C
    v t t v t a b v C a b R
    Khi đó l được gọi là toán tử tuyến tính bị chặn mạnh.
    Pab
    Tập các toán tử l : , ; , ; C a b R L a b R ([ ] + + ) → ([ ] )
    sao cho l tuyến tính và l ∈ Lab
    .
    Kab
    Tập các toán tử F C a b R L a b R : , ; , ; ([ ] ) → ([ ] ) liên tụ c thoả mãn đi ều kiện Carathèodory, nghĩa là với
    mỗi r > 0 tồn tại q L a b R r ∈ ([ , ;] + ) sao cho
    ( )( ) ≤ ∀ ∈ ≤ r ( ), , , [ ]
    C
    F v t q t t a b v r.
    K a b A B ([ , ; ]× ) Tập các hàm f a b A B : , [ ]× → ,( ∈ ⊆ ∈ , , ¥ )
    n
    A R B R n
    thoả điều kiện Carathèodory, nghĩa là :
    + Hàm f x a b B (⋅ → , : , ) [ ] đo được với mỗi x A ∈
    + Hàm f t A B ( , : ⋅ → ) liên tục với mỗi t a b ∈[ , ]
    + Với mỗi r > 0 tồn tại q L a b R r ∈ ([ , ;] + ) sao cho
    f t x q t t a b x r ( , , , ) ≤ ∀ ∈ ≤ r ( ) [ ] .
    Toán tử 0
    t -Volterra (t a b
    0 ∈[ , ])
    Tập các toán tử l ∈ Lab
    sao cho với hai số tùy ý a a t b t b
    1 0 1 0 ∈ ∈ [ , , , ] [ ]sao
    cho a b
    1 1 ≠ và vớ i mọ i hàm
    v C a b R ∈ ([ , ;] ) thoả mãn điều kiện : v t t a b ( ) = ∈ 0, , [ 1 1 ]
    ta có l (v t )( ) = 0 hầu khắp nơ i trên [a b
    1 1
    , ].
    [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( )
    1 1 1 1
    sgn 1 sgn 1
    2 2 2 2
    + ư
    x x x x x x x x x x = + = + = ư = ư
    Toán tử l ∈ Lab
    được gọi là không tầm thường, nếu l (1) ≡ 0. PHẦN MỞ ĐẦ U
    Lý thuyết bài toán biên tuần hoàn cho phư ơ ng trình vi phân thườ ng và phư ơ ng trình
    vi phân hàm ra đờ i từ thế kỉ 18, song đế n nay vẫ n đư ợ c nhiề u ngư ời quan tâm nhờ các ứng
    dụng của nó trong các lĩnh vực vật lý, cơ học, kinh tế, nông nghiệp, . Đặc biệt, bài toán
    biên dạng tuần hoàn cho phư ơ ng trình vi phân hàm bậc nhất đạt được nhiều kết quả bắ t đầ u
    từ năm 2000, nhờ các kết quả của các tác giả như I. Kiguradze, R.Hakl, A.Lomtatidze,
    cho hệ phư ơ ng tr ình vi phân hàm tổ ng quát.
    Trong luận văn này tôi nghiên cứ u bài toán biên dạ ng tuầ n hoàn cho phư ơ ng tr ình vi phân
    hàm bậc nhất tuyế n tính. Bài toán như sau:
    Xét sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phư ơ ng tr ình vi phân hàm tuyến tính:
    u t u t q t ′( ) ( )( ) ( ) = + l
    với điều kiện biên
    λ µ u a u b c ( ) ( ) + =
    Trong đó , ([ , ]; ), , , , 0
    ab
    l ¡ ¡ ∈ ∈ ∈ + ≠ L q L a b c λ µ λ µ
    Nghiệm của bài toán là hàm u C a b ∈ ([ , ]; ) ¡ thoả mãn phư ơ ng trình u t u t q t ′( ) ( )( ) ( ) = + l hầu
    khắ p nơ i trên [a,b] và thỏ a mãn đi ều kiện biên λ µ u a u b c ( ) ( ) + =
    Luận văn gồ m ba chư ơ ng :
    Chư ơ ng I. Chúng ta xây dựng điều kiện cần và đủ để mộ t toán tử tuyế n tính và bị chặ n
    mạ nh l thuộ c vào lớ p ( , ) Vab λ µ
    +
    .
    Chư ơ ng II. Xây dựng các điều kiện đủ để bài toán biên dạ ng tuầ n hoàn cho phư ơ ng
    trình vi phân hàm tuyế n tính có nghiệm duy nhất.
    Chư ơ ng III. Áp dụng các kết quả của chư ơ ng II để xây dựng các điều kiện đủ cho việc
    tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên dạng tuần hoàn cho phư ơ ng trình vi phân đối số
    lệch.
    Luận văn là tài liệu tham khảo cho những người quan tâm đến lý thuyết bài toán biên
    tuần hoàn cho phư ơ ng tr ình vi phân hàm tuyến tính và phi tuyến bậc cao. CHƯ Ơ NG I
    MỘ T SỐ BẤ T PHƯ Ơ NG TRÌNH VI PHÂN
    Trong chư ơ ng này ta giả s ử rằ ng λ µ + ≠ 0 và λµ ≤ 0
    Trườ ng hợ p λ µ = ư ta cầ n thêm điều kiện toán tử ∈ ab
    l L không tầm thường, nghĩa là
    l (1) ≢1.Equation Section 1
    1.1 Giới thiệu bài toán
    Xét bài toán biên dạng tuần hoàn cho phư ơ ng trình vi phân hàm tuyến tính bậc nhất sau:
    u t u t q t ′( ) ( )( ) ( ) = + l (1.1)
    với điều kiện biên:
    λ µ u a u b c ( ) ( ) + = (1.2)
    Trong đó , ([ , ]; ), , , , 0
    ab
    l ¡ ¡ ∈ ∈ ∈ + ≠ L q L a b c λ µ λ µ
    Nghiệm của phư ơ ng trình (1.1) là hàm u C a b ∈ ([ , ]; ) ¡ thoả mãn phư ơ ng trình (1.1)hầu khắp
    nơ i trên [a,b].
    Cùng với bài toán (1.1), (1.2) ta xét bài toán thuần nhất tư ơ ng ứng:
    0
    0
    ( ) ( )( ) (1.1 )
    ( ) ( ) 0 (1.2 )
    u t u t
    λ µ u a u b
    ′ =
    + =
    l
    Trường hợp riêng của phư ơ ng trình(1.1)là:
    [ ]
    1
    ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) (1.1)
    m
    k k k k
    k
    u t p t u t g t u t q t τ υ
    =
    ′ = ư + ∑ ′
    Trongđó: , ([ , ]; ), ([ , ], ), , ( 1,2, ., ),
    k k k k ab
    p g L a b q L a b k m m ∈ ∈ ∈ = ∈ ¡ ¡ ¥
    +
    τ υ M
    Từ các kết quả của I. Kiguradze và B. Puza trong [2], ta có kết quả sau
    1.1.1 Định lí
    Bài toán (1.1), (1.2) có nghiệ m duy nhấ t khi và chỉ khi bài toán thuầ n nhấ t tư ơ ng ứ ng (1.10),
    (1.20) chỉ có nghiệ m tầ m thư ờ ng. 1.1.2 Chú ý
    Theo đị nh lý Riesz-Schauder thì nếu bài toán (1.10), (1.20) có nghiệm tầm thư ờ ng thì tồn tại
    q L a b c ∈ ∈ ([ , ]; ), ¡ ¡ sao cho bài toán (1.1), (1.2) không có nghiệm.
    1.2 Tậ p λ µ
    +
    ( , ) Vab
    1.2.1 Đị nh nghĩa
    Ta nói toán tử ∈ ab
    l L thuộc tập ( , ) Vab λ µ
    +
    nếuthoả mãn các điều kiện sau
    i. Bài toán (1.10), (1.20) chỉ có nghiệm tầm thư ờ ng.
    ii. Vớ i mọ i q L a b ([ , ]; ) ∈ +
    ¡ và c∈¡ thỏ a
    mãn(sgn sgn ) 0 λ µ ư ≥c
    thìbài toán (1.1),(1.2)có nghiệm không âm.
    1.2.2 Chú ý
    Theo định lí 1.1.1, rõ ràng nếu ( , ) Vab λ µ
    +
    l ∈ thì bài toán (1.1), (1.2)có nghiệm duy nhất với
    mọi q L a b ∈ ([ , ]; ) ¡ và c∈¡ .
    Hơ n nữ a, nế u ∈ ab
    l P và ( , ) Vab λ µ
    +
    l ∈ thì µ λ < .
    Thật vậ y
    Do ( , ) Vab λ µ
    +
    l ∈ nên bài toán (1.1),(1.2) có nghiệm duy nhất u(t)với mỗi
    q L a b c ([ , ]; ), ∈ ∈ +
    ¡ ¡ thỏa mãn(sgn sgn ) 0 λ µ ư ≥c và u t C a b ( )∈ ([ , ;] ¡
    + ).Vì ∈ ab
    l P nên
    l ¡ (u t L a b )( )∈ ([ , ;] + ).
    Do đó ta cóu t u t q t ′( ) ( )( ) ( ) 0 = + ≥ l hay u t( ) là hàm tăngtrên [a b, ]hay u b u a ( ) > ≥ ( ) 0
    Hơ n nữa, từ các điều kiện :
    ( ) ( )
    (sgn sgn ) 0
    0
    u a u b c
    c
    λ µ
    λ µ
    λµ
     + =

     ư ≥



    Nên ta có
    (sgn sgn ) (sgn sgn ) 0 ( ) ( )
    sgn sgn
    λ µ λ µ λ µ c u a u b
    λ µ

     ư = ư + ≥  
     

     = ư
    Do đó
    λ µ u a u b ( ) ư ≥ ( ) 0
    Hay λ µ u a u b ( ) ≥ ( ) (1.3)
    v Nế uu a( ) = 0 vì u b( ) > 0 nên ta xét hai trườ ng hợ p
    µ = 0 và µ ≠ 0
    Trườ ng hợ p µ = 0 vì theo giả thiế t λ µ + ≠ 0 nên
    λ > 0 . Do đó µ λ < đúng.
    Trườ ng hợ p µ ≠ 0 khi đó (1.3) có dạ ng
    0 0 ≥ > µ u b( ) vô lí.
    v Nế uu a( ) > 0 khi đó, từ (1.3) ta có
    ( )
    ( )
    u b
    u a
    λ µ µ ≥ >
    Suy ra µ λ < đúng.
    Vậ y nế u ∈ ab
    l P và ( , ) Vab λ µ
    +
    l ∈ thì µ λ < n
    1.2.3 Chú ý
    Theo đị nh nghĩa1.2.1, ( , ) Vab λ µ
    +
    l ∈ nế u và chỉ nế u u v C a b , [ , ]; ∈ ( ¡ )thoả mãn các bấ t đẳ ng
    thứ c
    ( ) ( )( ) ( ), [ , ]
    ( ) ( )( ) ( ), [ , ]
    ( ) ( ) ( ) ( )
    u t u t q t t a b
    v t v t q t t a b
    λ µ λ µ u a u b v a v b
    ′ ≤ + ∈
    ′ ≥ + ∈
    ư ≤ ư
    l
    l (1.4)
    Thì u t v t ( ) ( ) ≤ vớ i t a b ∈[ , ].
    Thật vậ y
    Đặ t h t v t u t ( ) ( ) = ư ( ). Theo (1.4) ta có
    ( ) ( )( ), , , [ ]
    ( ) ( ) 0
    h t h t t a b
    λ µ h a h b
    ′ ≥ ∈
    ư ≥
    l
    Dễ thấ yh là nghiệm của phư ơ ng trình sau:
    ( ) ( )( ) ( ),
    ( ) ( )
    h t h t q t
    λ µ h a h b c
    ′ = +
    + =
    l
    (1.5)
    với q t h t h t c h a h b ( ) = ư ≥ = + ′( ) l ( )( ) 0, λ µ ( ) ( )
    Mặt khác vì ( )
    [ ]
    sgn sgn 2 .sgn
    2 ( ) ( ) sgn
    2 ( ) ( ) 0
    c c
    h a h b
    h a h b
    λ µ λ
    λ µ λ
    λ µ
    ư =
    = +
    =  ư  ≥
     
    nên theo đị nh nghĩa 1.2.1 ta có bài toán (1.5)có nghiệm duy nhất h t( ) ≥ 0 . Từ đó suy ra
    u t v t ( ) ( ) ≤ với mọit a b ∈[ , ]. n
    1.2.4 Mệnh đề
    Cho µ λ < và ∈ ab
    l P .
    Khi đó ( , ) Vab λ µ
    +
    l ∈ nế u và chỉ nế u bài toán
    ( ) ( )( ),
    ( ) ( ) 0
    u t u t
    λ µ u a u b
    ′ ≤
    + =
    l
    (1.6)
    Không có nghiệ mkhông âm khác tầ m thường.
    Chứng minh
    v Điều kiện cần
    Giả sử ( , ) Vab λ µ
    +
    l ∈ , ta chứng minh bài toán (1.6) không có nghiệm không âm khác tầm
    thường.
    Thật vậy, giả sửulà nghiệm của bài toán (1.6) và u t t a b ( ) 0 [ , ] ≥ ∀ ∈
    Vì λµ ≤ 0 và λ µ u a u b ( ) ( ) 0 + = nên ta có λ µ u a u b ( ) ( ) 0 ư =
    Áp dụng chú ý 1.2.3với v t q t ( ) ≡ ≡ 0, 0 ( ) ta cóu t( ) 0 ≤ ∀ ∈t a b [ , ].
    Suy ra u t t a b ( ) 0 [ , ] ≡ ∀ ∈
    Do đó, bài toán (1.6) không có nghiệm không âm khác tầm thường.
    v Điều kiện đủ
    Giả sử bài toán (1.6) không có nghiệm không âm khác tầm thường. Ta chứng minh
    ( , ) Vab λ µ
    +
    l ∈ theođịnh nghĩa 1.2.1
    Bước 1. Chứng minh bài toán thuần nhất (1.10), (1.20) chỉ có nghiệm tầm thường.
    Giả sử 0
    u là nghiệm của bài toán thuần nhất (1.10), (1.20).
    Ta có:
    u t u t u t u t u t u t u t
    0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) sgn sgn sgn ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
    ′ ′
    = = =   ′
     
    l (1.7)
    Mặt khác, từ0 0
    0 0
    ( ) ( )
    ( ) ( )
    u t u t
    u t u t

     ≥

     ≥ ư

    do ∈ ab
    l P ta có
    ( )( ) ( )( )
    ( )( ) ( )( )
    0 0
    0 0
    u t u t
    u t u t
     ≥


     ≥ ư

    l l
    l l
    nên
    l l l ( u t u t u t u t
    0 0 0 0 )( ) ≥ = ( )( ) ( )( )sgn ( ) (1.8)
    Do λµ ≤ 0 nên từ điều kiện biên (1.20) ta có λ µ u a u b
    0 0 ( ) + = ( ) 0.
    Do đó ta có:
    ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ]
    ( ) ( )
    0 0 0 0
    0 0
    sgn , ,
    0
    u t u t u t u t t a b
    λ µ u a u b

    = ≤ ∈
    + =
    l l
    Vì vậy,
    0
    u là nghiệm của bài toán (1.6). Như vậy,
    0
    u ≡ 0 nghĩa là bài toán thuần nhất (1.10),
    (1.20) chỉ có nghiệm tầm thường.
    Bước 2. Chứng minh với mọi q L a b ([ , ]; ) ∈ +
    ¡ và c ∈ ¡ sao cho (sgn sgn 0 λ µ ư ≥ ) c
    khi đó bài toán (1.1), (1.2)có nghiệm không âm.
    Thật vậy, giả sửu là nghiệm của bài toán (1.1), (1.2)với q L a b ([ , ]; ) ∈ +
    ¡ và c ∈ ¡ sao cho
    (sgn sgn 0 λ µ ư ≥ ) c , ta có
    sgn
    0
    c λ
    λ µ

    ư
    Đặt
    sgn
    ( ) ( ) , [ , ]
    c
    v t u t t a b
    λ
    λ µ
    = ư ∈
    ư
    (1.9)
    Ta có
    ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
    ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
    sgn sgn
    v t u t u t q t u t
    c c
    v t u t u t t u t
    λ λ
    λ µ λ µ
    ′ ′ = = + ≥
       
    = ư = ư ≤
    ư ư
       
    l l
    l l l l l
    Suy ra v t v t ′( ) ≥ l ( )( )
    Do ∈ ab
    l P kết hợp với(1.7) và (1.8) ta có v t v t ( ) ( )( )

    ≤ l .


    Xem Thêm: Bài toán biên dạng tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc nhất tuyến tính
    Nội dung trên chỉ thể hiện một phần hoặc nhiều phần trích dẫn. Để có thể xem đầy đủ, chi tiết và đúng định dạng tài liệu, bạn vui lòng tải tài liệu. Hy vọng tài liệu Bài toán biên dạng tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc nhất tuyến tính sẽ giúp ích cho bạn.
    #1
  7. Đang tải dữ liệu...

    Chia sẻ link hay nhận ngay tiền thưởng
    Vui lòng Tải xuống để xem tài liệu đầy đủ.

    Gửi bình luận

    ♥ Tải tài liệu

social Thư Viện Tài Liệu

Từ khóa được tìm kiếm

Nobody landed on this page from a search engine, yet!

Quyền viết bài

  • Bạn Không thể gửi Chủ đề mới
  • Bạn Không thể Gửi trả lời
  • Bạn Không thể Gửi file đính kèm
  • Bạn Không thể Sửa bài viết của mình
  •  
DMCA.com Protection Status