Tìm kiếm
Đang tải khung tìm kiếm
Kết quả 1 đến 1 của 1

    THẠC SĨ Về iđêan nguyên tố liên kết và tính Cofinite của môđun đối đồng điều địa phương

    D
    dream dream Đang Ngoại tuyến (18495 tài liệu)
    .:: Cộng Tác Viên ::.
  1. Gửi tài liệu
  2. Bình luận
  3. Chia sẻ
  4. Thông tin
  5. Công cụ
  6. Về iđêan nguyên tố liên kết và tính Cofinite của môđun đối đồng điều địa phương

    Đề tài: Về iđêan nguyên tố liên kết và tính Cofinite của môđun đối đồng điều địa phương
    BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
    TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
    Phạm ðăng Minh
    VỀ IðÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT VÀ
    TÍNH COFINITE CỦA MÔðUN ðỐI
    ðỒNG ðIỀU ðỊA PHƯƠNG
    Chuyên ngành : ðại số và lý thuyết số
    Mã số : 60 46 05
    LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
    NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
    TS. TRẦN TUẤN NAM
    Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 Lời Cảm Ơn
    Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn tận tình và nghiêm
    khắc của thầy giáo TS. Trần Tuấn Nam. Nhân dịp này tôi xin chân
    thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và gia đình.
    Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư
    phạm Thành phố Hồ Chí Minh, lãnh đạo Khoa Toán Tin, lãnh đạo
    và chuyên viên Phòng KHCN - SĐH của Trường đã tạo mọi điều
    kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập của mình.
    Tôi xin chân thành cảm ơn sự tận tâm và nhiệt tình của PGS.TS
    Mỵ Vinh Quang, PGS.TS Bùi Tường Trí, TS. Trần Huyên, PGS.TS
    Bùi Xuân Hải và các quý thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp cao
    học chuyên ngành Đại số và lý thuyết số khóa 19 của Trường ĐHSP
    Tp Hồ Chí Minh.
    Tôi cũng rất biết ơn lãnh đạo và đồng nghiệp ở Trường THPT
    Hòa Hội, Tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu nơi tôi công tác và tất cả các bạn
    cùng khóa đã ủng hộ, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong quá
    trình học tập và làm luận văn.
    Cuối cùng, tôi xin cảm ơn những người thân yêu trong gia đình
    đã luôn cho tôi niềm tin và động lực để học tập và công tác tốt.
    Phạm Đăng Minh
    iMở Đầu
    Cho R là vành Noether, I là iđêan của R, M là Rưmôđun.
    Một vấn đề quan trọng trong đại số giao hoán là xác định khi nào
    thì tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều
    địa phương thứ i, Hi
    I
    (M) của M là hữu hạn. Nếu R là vành địa
    phương chính quy chứa trong một trường thì Hi
    I
    (R) là hữu hạn với
    i ≥ 0. Điều này đã được chứng minh bởi các nhà toán học Huneke
    và Sharp (với i > 0) sau đó Lyubeznik chứng minh với i = 0. Cho
    đến ngày nay vấn đề này vẫn còn nhiều điều chưa được biết, chẳn
    hạng như tập các iđêan nguyên tố liên kết của Hi
    I
    (R) có là hữu hạn
    sinh với bất kỳ vành Noether tùy ý và với bất kỳ iđêan của nó hay
    không. Trong trường hợp R là vành Noether không địa phương thì
    Singh đã chỉ ra một ví dụ với một iđêan I nào đó thì H3
    I
    (R) không
    là hữu hạn sinh. Khi đi nghiên cứu các vấn đề trên Hartshorne,
    Huneke và Koh đã đưa ra định nghĩa tính cofinite của môđun đối
    đồng điều địa phương. Một Rưmôđun N được gọi là I ư cofinite
    nếu Supp(M) ⊆ V (I) và Ext
    i
    R
    (R/I,M) là hữu hạn sinh với bất
    kì i ≥ 0, ở đây V (I) được hiểu là tập các iđêan nguyên tố chứa
    I. Từ đây cũng thu được một kết quả quan trọng: Nếu R là vành
    chính quy địa phương đầy đủ M là Rưmôđun hữu hạn sinh thì
    iiiii
    Hi
    I
    (M) là I ư cofinite nếu như dim R/I ≤ 1, gần đây T. Marley,
    K-I. Kawasiki, K-I. Yoshida, S. Yassemi, Trần Tuấn Nam, . tiếp tục
    nghiên cứu và cho ra những kết quả đẹp.
    Nội dung của luận văn gồm hai chương cụ thể như sau:
    Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương này nhắc lại các khái
    niệm và một số kết quả về vành và môđun, iđêan nguyên tố liên
    kết và giá, số chiều - độ sâu - chiều cao, môđun đối đồng điều địa
    phương, đồng điều Koszul.
    Chương 2: Về Iđêan Nguyên Tố Liên Kết và Tính Cofinite
    Của Môđun Đối Đồng Điều Địa Phương.
    Đầu tiên chúng tôi trình bày khái niệm môđun Cofinite, tìm
    hiểu các tính chất của môđun Cofinite và các điều kiện để một
    môđun là môđun Cofinite. Môđun Cofinite được Harshorne định
    nghĩa trong [31] như sau:
    Định nghĩa 2.1.1 Cho R là vành, I là iđêan của R và M là
    Rưmôđun, M được gọi là Iưcofinite nếu Supp(M) ⊂ V (I) và
    Ext
    i
    R
    (R/I,M) là hữu hạn sinh với mọi i.
    D. Delfino đã thiết lập sự thay đổi vành chính cho tính cofinite
    ([5],Proposition 2)
    Mệnh đề 2.1.7 Cho đồng cấu ϕ : A → B, I là iđêan của R. Một
    Bưmôđun M là IBưcofinite (tương ứng với iđêan IB) khi và chỉ
    khi M là Aưmôđun Iưcofinite (tương ứng với iđêan I).
    Sử dụng định lý trên, D. Delfino tổng quát hóa kết quả trước đó
    của Harshorne ([5], Theorem 1). Cụ thể:
    Vành R là Neother địa phương, I là iđêan nguyên tố của R sao choiv
    dim R/I = 1 thì Hi
    I
    (M) là I-cofinite với mọi i và với mọi R-môđun
    hữu hạn sinh M.
    Trong mục này chúng tôi đưa ra các tiêu chuẩn để một môđun là
    môđun cofinite, cũng như các điều kiện tương đương:
    Mệnh đề 2.1.9 Cho I là iđêan của vành R, x ∈ I và Supp(M) ⊂
    V (I). Nếu 0 :M x và M/xM là Iưcofinite thì M là Iưcofinite.
    Mệnh đề 2.1.15 Cho (R, m) là vành địa phương với iđêan tối đại
    m và I là một iđêan của R với số chiều một hoặc là iđêan chính.
    Cho A là một Rưmôđun Artin và M là một Rưmôđun hữu hạn
    sinh. Thì Ext
    i
    R
    (A, H
    j
    I
    (M)) là hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0 và j ≥ 0.
    Mệnh đề 2.1.16 Nếu M là môđun Iưcofinite thì M có chiều Goldie
    hữu hạn.
    Mệnh đề 2.1.12 cho chúng ta các điều kiện tương đương của môđun
    cofinite.
    Tiếp theo chúng tôi trình bày khái niệm AF-môđun và FAmôđun.
    Định nghĩa 2.2.1 R-môđun M được gọi là FA môđun nếu tồn tại
    R-môđun con hữu hạn sinh N của M sao cho M/N là Artin.
    R-môđun M được gọi là AF môđun nếu tồn tại R-môđun con Artin
    A của M sao cho M/A là hữu hạn sinh.
    Từ định nghĩa trên cùng với bổ đề 2.2.2 chúng tôi chứng minh được
    định lý 2.2.3, qua đó chúng ta đã đưa ra được tính hữu hạn của tập
    Ext
    i
    R
    (K, H
    j
    I
    (M)) bởi định lý 2.2.5
    Định lí 2.2.5v
    (i). Nếu M và K là FA môđun và SuppR(K) ⊆ V (I) thì Ext
    i
    R
    (K, H
    j
    I
    (M))
    là môđun hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0 và j > 0.
    (ii). Nếu M và K là AF môđun và SuppR(K) ⊆ V (I) thì Ext
    i
    R
    (K, H
    j
    I
    (M))
    là môđun hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0 và j > 0.
    Trong phần tiếp theo chúng tôi tìm hiểu về Tính cofinite
    của môđun đối đồng điều địa phương.
    Các mệnh đề 2.3.4, 2.3.7 cho chúng ta điều kiện để Hs
    I
    (M) là Icofinite. Về mối liên hệ giữa môđun FA và tính cofinite chúng tôi
    phát biểu và chứng minh mệnh đề 2.3.10 như sau
    Mệnh đề 2.3.10 Cho M là R-môđun hữu hạn sinh và I là iđêan
    của R, s là số nguyên dương sao cho Hi
    I
    (M) là FA với mọi i < s.
    Khi đó Hi
    I
    (M) là I-cofinite với mọi i < s và HomR(R/I,Hs
    I
    (M))
    là hữu hạn sinh.
    Tiếp đó ta có mối liện hệ giữa môđun cofinite và tính hữu hạn của
    tập HomR(R/I,Hs
    I
    (M)) được phát biểu trong định lý 2.3.11.
    Định lí 2.3.11 Cho I là một iđêan của vành Noether R. Cho s là
    số nguyên không âm. M là R-môđun sao cho Ext
    i
    R
    (R/I,M) là Rmôđun hữu hạn với mọi i ≤ s, chẳn hạng M phải là R-môđun hữu
    hạn. Nếu Hi
    I
    (M) là I-cofinite với mọi i < s thì HomR(R/I,Hs
    I
    (M))
    là hữu hạn.
    Tiếp đó chúng ta có mệnh đề 2.3.12 như sau:
    Giả sử M là R-môđun sao cho Ext
    1
    R
    (R/I,M) và Ext
    2
    R
    (R/I, ΓI (M))
    là các môđun hữu hạn. Khi đó HomR(R/I,H1
    I
    (M)) là hữu hạn.
    Từ đây chúng ta có hệ quả 2.3.14 nêu lên tính hữu hạn của AssR(Hs
    I
    (M))
    Hệ quả 2.3.14 Giả sử M là R-môđun hữu hạn. Gọi s là số nguyênvi
    không âm sao cho Hi
    I
    (M) là hữu hạn với mọi i < s. Khi đó AssR(Hs
    I
    (M))
    là tập hữu hạn.
    Khi xem xét (R, m) là vành Noether địa phương từ định nghĩa 2.3.15,
    định lý 2.3.16, các hệ quả 2.3.17, 2.3.18 chúng ta có định lý 2.3.19
    như sau
    Định lí 2.3.19 Cho M là R-môđun hữu hạn. Khi đó phát biểu dưới
    đây đúng
    q(I, M) = sup{q(I, R/p)|p ∈ SuppM}
    Cuối cùng và cũng là nội dung chính của luận văn chúng tôi
    tiếp tục tìm hiểu các điều kiện để AssR(Hs
    I
    (M)) là tập hữu hạn.
    Trong phần này chúng tôi xuất phát từ bổ đề 2.4.1 chỉ ra được rằng
    tập {x ∈ R|Mx là Rx ư môđun hữu hạn sinh} là một iđêan của R,
    tiếp đó chúng ta có bổ đề 2.4.6 được phát biểu như sau
    Bổ đề 2.4.6 Cho R là vành địa phương và là ảnh đồng cấu của một
    vành Cohen ư Macaulay, I là iđêan của R và M là R-môđun hữu
    hạn sinh. Đặt n = dimM và r = dimM/IM. Giả sử rằng
    (i). M là đẳng chiều và
    (ii). M thỏa điều kiện Serre

    s Sl với l ≤ n ư r ư 1.
    Thì Hi
    I
    (M) là hữu hạn sinh với i < l + 1.
    Từ các mệnh đề 2.4.9, 2.4.10, 2.4.11 và nhận xét 2.4.3 chúng ta có
    định lý sau 2.4.12 được phát biểu như sau
    Định lí 2.4.12 Cho R là vành địa phương, I là iđêan của R và M
    là R-môđun hữu hạn sinh có số chiều là n. Đặt D := D(I, M) vàvii
    giả sử rằng một trong các điều kiện dưới đây đúng:
    (i). dimM ≤ 3;
    (ii). dim R = 4 và R là miền nguyên chính;
    (iii). R là vành thương của vành CohenưMacaulay, dimM/IM ≤ 2
    và hoặc là dimM ≤ 4 hoặc thỏa mãn điều kiện Serre

    s Snư3;
    (iv). R là vành địa phương không rẽ nhánh, dim R/I ≤ 3 và M thỏa
    Sdư3 ở đây d = dim R = dimM.
    thì dim R/D ≤ 1.
    Từ định lý trên khi đi xem xét (R, m) là vành địa phương chúng ta
    có định lý 2.4.15 được phát biểu như sau
    Định lí 2.4.15 Cho R là vành địa phương, I là iđêan của R và M
    là Rưmôđun hữu hạn sinh n chiều. Giả sử rằng một trong các điều
    kiện dưới đây được thỏa mãn:
    (i). dimM ≤ 3;
    (ii). dim R = 4 và m ư adic đầy đủ của R là một UFD;
    (iii). R là vành thương của vành Cohen ư Macaulay, dim R/I ≤ 2
    và hoặc dimM ≤ 4 hoặc M thỏa mãn điều kiện Snư3;
    (iv). R là vành chính quy địa phương không rẽ nhánh, dim R/I ≤ 3
    và M thỏa điều kiện Sdư3 trong đó d = dim R = dimM.
    Lúc đó với mọi Rưmôđun hữu hạn sinh N sao cho SuppRN ⊆
    V (I). Tập AssRExt
    i
    R
    (N, H
    j
    I
    (M)) là hữu hạn với mọi i, j. Đặc biệt
    AssRHi
    I
    (M) là tập hữu hạn với mọi i.viii
    Các kết quả tiếp theo chỉ cho chúng ta thấy tính không hữu hạn
    sinh của tập HomR(R/I,Hdư1
    I
    (R)).
    Xin chân thành cảm ơn các thầy, cô ở trường Đại Học Sư
    Phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giúp đỡ chúng tôi trong
    quá trình học tập. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Tiến
    sĩ Trần Tuấn Nam, người đã trực tiếp ra đề tài và hướng dẫn tôi
    hoàn thành luận văn này.
    Do thời gian và khả năng còn hạn chế, bản thân vừa giảng
    dạy vừa nghiên cứu nên khó tránh khỏi những thiếu sót, tôi xin ghi
    nhận và chân thành cảm ơn những ý kiến đóng góp của thầy cô,
    bạn bè đồng nghiệp để luận văn này hoàn chỉnh hơn.
    Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 7 năm 2011.
    Phạm Đăng Minh


    Xem Thêm: Về iđêan nguyên tố liên kết và tính Cofinite của môđun đối đồng điều địa phương
    Nội dung trên chỉ thể hiện một phần hoặc nhiều phần trích dẫn. Để có thể xem đầy đủ, chi tiết và đúng định dạng tài liệu, bạn vui lòng tải tài liệu. Hy vọng tài liệu Về iđêan nguyên tố liên kết và tính Cofinite của môđun đối đồng điều địa phương sẽ giúp ích cho bạn.
    #1
  7. Đang tải dữ liệu...

    Chia sẻ link hay nhận ngay tiền thưởng
    Vui lòng Tải xuống để xem tài liệu đầy đủ.

    Gửi bình luận

    ♥ Tải tài liệu

social Thư Viện Tài Liệu

Từ khóa được tìm kiếm

Nobody landed on this page from a search engine, yet!

Quyền viết bài

  • Bạn Không thể gửi Chủ đề mới
  • Bạn Không thể Gửi trả lời
  • Bạn Không thể Gửi file đính kèm
  • Bạn Không thể Sửa bài viết của mình
  •  
DMCA.com Protection Status