Tìm kiếm
Đang tải khung tìm kiếm
Kết quả 1 đến 1 của 1

    THẠC SĨ Bài toán ngược trong lý thuyết nhiệt

    D
    dream dream Đang Ngoại tuyến (18495 tài liệu)
    .:: Cộng Tác Viên ::.
  1. Gửi tài liệu
  2. Bình luận
  3. Chia sẻ
  4. Thông tin
  5. Công cụ
  6. Bài toán ngược trong lý thuyết nhiệt

    Đề tài: Bài toán ngược trong lý thuyết nhiệt
    LỜI CAM ĐOAN
    Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu và
    các kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong
    bất kỳ một công trình nào khác.
    Tác giả luận án. LỜI CẢM ƠN
    Trước tiên, tác giả xin tri ân vô hạn Thầy, GS.TS. Đặng Đình Áng, Giáo Sư
    hướng dẫn, người Thầy khả kính đã tận tình chỉ bảo, dạy dỗ, dẫn dắt tác giả từng
    bước trên con đường học tập và khảo cứu. Luôn theo gương Thầy, tác giả đã,
    đang và sẽ mãi mãi học tập.
    Tôi xin vô cùng biết ơn Thầy hướng dẫn phụ, TS. Nguyễn Cam, đã tận tình
    chỉ bảo và cho ý kiến trong quá trình thực hiện luận án.
    Tôi xin vô cùng biết ơn hai Thầy, PGS.TS. Đinh Ngọc Thanh và PGS.TS.
    Đặng Đức Trọng đã tận tình hết lòng dìu dắt và chỉ dạy cho tôi trong suốt thời
    gian làm luận án.
    Tôi xin vô cùng biết ơn Thầy, PGS.TS. Lê Hoàn Hóa, đã tận tình chỉ dạy
    cho tôi trong suốt thời gian học Đại học và Cao học.
    Tôi xin vô cùng biết ơn Thầy, GS. TS. Alain Pham Ngoc Dinh đã chỉ bảo
    những kết quả tính số vô cùng quý báu đối với tôi.
    Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy giới thiệu luận án đã đọc và cho nhiều
    ý kiến sâu sắc.
    Tôi xin chân thành cảm ơn những ý kiến đóng góp của các chuyên gia,
    người nhận xét. Những ý kiến này đã giúp chúng tôi cải thiện luận án tốt hơn.
    Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Khoa Toán, Phòng Khoa Học
    Công nghệ và Sau Đại Học của trường Đại học Sư Phạm và Đại học Khoa Học
    Tự Nhiên, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình thực hiện
    đề tài nghiên cứu.
    Trân trọng cảm ơn quý Thầy Cô và các bạn đồng nghiệp đã động viên,
    giúp đỡ tôi rất nhiều.
    Trân trọng biết ơn quý Thầy Cô đã từng dạy dỗ và chỉ bảo cho tôi, xin tri
    ân gia đình của tôi.
    Phạm Hoàng Quân Lời nói đầu 1
    LỜI NÓI ĐẦU
    Cùng với bài toán cho phương trình sóng và phương trình thế vị, các bài
    toán nhiệt là một trong những bài toán cổ điển có nhiều ứng dụng trong khoa
    học kỹ thuật. Bài toán liên quan tới vấn đề truyền nhiệt đã được khảo sát từ thời
    Fourier trong thế kỷ 19. Trong cơ sở dữ liệu của AMS hiện nay, số lượng bài báo
    có từ khóa “heat equation” lên tới trên năm ngàn bài. Trong số đó, khá nhiều
    bài toán nhiệt ngược được khảo sát (xem [16, 1, 50, 51] và các tài liệu tham
    khảo trong đó). Theo sự tổng kết của O. M. Alifanov (xem [1], trang 13), có bốn
    loại bài toán nhiệt ngược
    1. Bài toán nhiệt ngược thời gian (retrospective heat conduction problem
    hay backward problem): xác định nhiệt độ của thời điểm ban đầu từ phân bố
    nhiệt độ tại thời điểm cuối,
    2. Bài toán biên ngược (boundary inverse problem): xác định sự phân bố
    nhiệt độ hay thông lượng nhiệt trên biên của vật dẫn nhiệt,
    3. Bài toán xác định hệ số (coefficient inverse problem): xác định các hệ số
    như hệ số dẫn nhiệt, nguồn nhiệt ,
    4. Bài toán hình học: xác định các đặc trưng hình học như hình dạng các lỗ
    hổng hay các vết nứt trong vật dẫn nhiệt,
    Luận án này chỉ tập trung khảo sát một số vấn đề trong các bài toán 1, 2, 3.
    Các bài toán nhiệt ngược còn được chia ra thành hai loại: chỉnh (well-posed) và
    không chỉnh (ill-posed). Theo Hadamard, bài toán tìm x thỏa Ax =y gọi là chỉnh
    nếu
    a. nghiệm, nếu có, là duy nhất,
    b. nghiệm tồn tại,
    c. nghiệm có tính ổn định. Lời nói đầu 2
    Tương ứng với ba tính chất trên, ta có thể khảo sát ba loại bài toán về tính
    duy nhất (uniqueness), tính tồn tại (solvability) và tính ổn định (stability). Các
    bài toán không thỏa một trong ba điều a, b, c gọi là bài toán không chỉnh (theo
    nghĩa Hadamard). Đối với các bài toán có nghiệm không ổn định, người ta cần
    xây dựng các nghiệm xấp xỉ ổn định nghiệm cần tìm. Bài toán này gọi là
    d. bài toán chỉnh hóa (regularization).
    Tính chỉnh hay không chỉnh phụ thuộc vào nhiều điều kiện. Ví dụ có nhiều
    bài toán là không chỉnh khi dữ liệu cho được xét trên các không gian thông dụng
    nhưng lại chỉnh nếu dữ liệu xét trên không gian thu hẹp hơn. Điều này được
    minh họa, chẳng hạn, như một dấu hiệu phổ quát để nhận diện phương pháp
    mollification. Trong [41], tác giả đã viết như sau: “The idea of our method is as
    follows: if
    p
    ϕ∈L (R) is given inexactly by
    p
    L (R)
    ε
    ϕ ∈ then we mollify
    ε
    ϕ by
    convolution with the Dirichlet kernel and the de la Vallé Poussin kernel . The
    mollified data belong to the spaces of entire functions of exponent type in
    which our (mollified) problem is well-posed” . Tính chỉnh của bài toán còn có thể
    phụ thuộc vào tính chất của các hệ số trong bài toán. Chẳng hạn trong bài toán
    xác định nguồn nhiệt (xem [51] trang 222) dạng ϕ(x, t)f (x), Isakov đã phát biểu
    một kết quả đánh giá ổn định cho trường hợp ϕ(x,t) thỏa
    (9.1.1)
    t
    0 , ≤ ϕ ≤ ∂ ϕ 0
    và viết: “ Without the conditions (9.1.1), nonuniqueness is possible”, nghĩa là
    bài toán có thể không chỉnh. Chúng tôi sẽ nói thêm về vấn đề này sau.
    Như vậy, phối hợp các loại bài toán a, b, c, d và 1, 2, 3, 4, chúng ta có thể
    có đến 16 loại bài toán nhiệt ngược mà sự khác nhau có thể rất xa. Vì lý do này,
    khi so sánh kết quả của các công trình, chúng ta phải xem xét xem các bài toán Lời nói đầu 3
    đặt ra trong đó là loại nào trong các loại 1, 2, 3, 4 và vấn đề xét tới là a, b, c hay
    d, chưa kể đến sự khác nhau về việc sử dụng các không gian hàm, về các điều
    kiện trên dữ liệu hay trên các hệ số. Trong luận án này chúng tôi tập trung khảo
    sát vấn đề chỉnh hóa (tức là vấn đề d) cho một số bài toán loại 1, 2, 3. Tuy
    nhiên, chúng tôi không khảo sát vấn đề tính toán bằng số nghiệm chỉnh hóa.
    Trong một số trường hợp, các ví dụ số đưa ra nhằm mục đích minh họa cho các
    phương pháp.
    Thứ tự trình bày của các bài toán được sắp xếp thành hai nhóm: tuyến tính
    (các chương 1, 2, 3) và phi tuyến (các chương 4, 5, 6, 7). Cụ thể luận án sẽ khảo
    sát sự chỉnh hóa nghiệm của các bài toán nằm trong bốn dạng đã liệt kê như sau
    1. Bài toán nhiệt ngược thời gian
    - tuyến tính hai chiều không gian với các dữ kiện nhiệt độ cuối là rời rạc
    (chương 1)
    - phi tuyến một chiều không gian trên một tập hợp bị chận (chương 6)
    - phi tuyến một chiều không gian trên toàn bộ trục số thực (chương 7),
    2. Bài toán xác định nhiệt độ biên
    - tuyến tính của mô hình chất dẫn nhiệt một chiều có hai lớp từ dữ kiện
    nhiệt độ đo tại ba vị trí bên trong của vật (chương 3),
    - phi tuyến hai chiều không gian xác định nhiệt độ bề mặt khi biết nhiệt độ
    tại một vị trí bên trong (chương 5),
    3. Bài toán hai chiều không gian xác định nguồn nhiệt dạng tách biến
    không gian và thời gian ϕ(t)f (x) trong đó hàm phụ thuộc biến thời gian ϕ(t)
    được cho dưới dạng dữ liệu nhiễu không chính xác (chương 4). Lời nói đầu 4
    Bài toán nhiệt ngược thời gian được khảo sát qua rất nhiều công trình, cho
    đến gần đây, bài toán trên không gian Banach trừu tượng vẫn còn được công bố
    (xem [49]). Bắt đầu từ công trình tiên phong của Fritz John [54] vào thập niên
    50, các bài toán nhiệt ngược thời gian tuyến tính đã được khảo sát rất nhiều bằng
    các phương pháp nửa nhóm qua các công trình của Krein [56], phương pháp
    quasi-reversibility của Lattès-Lions [58], Miller [66], phương pháp pseudoparabolic của Gajewski and Zacharias [34], phương pháp chỉnh hóa hyperbolic
    [5]. Tuy nhiên, bài toán khôi phục phân bố nhiệt độ ban đầu từ các dữ liệu nhiệt
    độ cuối rời rạc chúng tôi chỉ mới tìm thấy trong [13] và bài báo [70] (là nội dung
    chính của Chương 1 của luận án). Bên cạnh đó, bài toán nhiệt ngược thời gian
    với nguồn nhiệt phi tuyến cũng chỉ mới được nhóm chúng tôi khảo sát gần đây
    trong các bài báo [69, 73] đã công bố (nội dung chính của chương 6 và 7) và
    trong công trình [80] (gửi đăng ở tạp chí ZAA). Trong khuôn khổ các tài liệu tìm
    được, chúng tôi chưa tìm được các công trình khác về bài toán phi tuyến này.
    Bài toán xác định nhiệt độ bề mặt từ các dữ liệu đo bên trong (borehole
    measurements) là bài toán đã được khảo sát rất nhiều trong trường hợp vật thể
    dẫn nhiệt chỉ có một lớp (one layer). Bài toán này đã được phát biểu trong [1,
    16, 19, ]. Trường hợp biến không gian x thuộc về nửa trục thực bài toán (với hệ
    số hằng) đã được khảo sát bởi Carasso [22], Talenti và Vessella [76]. Đinh Nho
    Hào,H.J. Reinhardt và A. Schneider [45, 46, ] sử dụng phương pháp
    mollification đã khảo sát bài toán trong trường hợp hệ số phụ thuộc vào biến x
    (với giả thiết trụ cột là nhiệt độ ban đầu triệt tiêu) và cho các đánh giá ổn định
    loại Holder. Gần đây, Chu-Li Fu [33] cũng sử dụng phương pháp chỉnh hóa
    Fourier (chặt cụt các tần số cao) để khảo sát bài toán. Tuy nhiên bài toán
    sideways cho trường hợp vật thể có nhiều lớp (multi-layer) vẫn chưa được khảo Lời nói đầu 5
    sát nhiều mặc dù đã được đề cập rất rõ ràng trong cuốn sách kinh điển của [16].
    Có lẽ một trong những lý do là quan điểm cho rằng bài toán đó đã được giải
    quyết về mặt nguyên tắc vì có thể phân thành nhiều bài toán một lớp và ta có
    thể lần lượt giải theo từng lớp từ trong ra ngoài. Tuy nhiên, phương pháp này có
    các tính toán nhiều và khó rút ra các đánh giá về sai số. Chúng tôi đã khảo sát
    bài toán trên quan điểm tính toán đồng thời phân bố nhiệt độ trong tất cả các lớp
    như là hệ thống của các phương trình tích chập, nhờ đó có thể tính trực tiếp nhiệt
    độ bề mặt mà không phải tính theo lối quy nạp. Trong Chương 3, các kết quả
    cho một vật thể dẫn nhiệt hai lớp đã được trình bày như một minh họa cho ý
    tưởng của phương pháp. Các kết quả này đã được công bố trong bài [71] trên tạp
    chí Applicable Analysis.
    Trường hợp xác định nhiệt độ bề mặt của vật thể thỏa phương trình elliptic
    phi tuyến được khảo sát trong chương 5. Cũng như các bài toán phi tuyến nhiệt
    ngược thời gian, chúng tôi cũng chưa tìm ra được các công trình khảo sát bài
    toán phi tuyến tương tự. Bài toán đặt ra ở đây là xác định phân bố nhiệt độ trên
    biên (trục Ox) từ nhiệt độ đo ở những điểm có phương trình y=1 của nửa mặt
    phẳng trên. Việc khảo sát này sử dụng ý tưởng thông dụng được nói tới trong
    [16, 46, .]: khảo sát bài toán trong phần mặt phẳng y>1 (bài toán chỉnh) rồi lấy
    kết quả làm dữ liệu để khảo sát trong dải 0<y<1 (bài toán không chỉnh). Các kết
    quả này chỉ là các kết quả bước đầu cho việc nghiên cứu bài toán phi tuyến này.
    Nội dung của bài toán được trình bày trong bài báo [72] đã công bố trên tạp chí
    Vietnam Journal of Mathematics và là nội dung của Chương 5.
    Trong các bài toán xác định về hệ số, luận án chỉ khảo sát bài toán tìm
    nguồn nhiệt. Đây là một loại bài toán phi tuyến (xem [51, trang 222]). Một số Lời nói đầu 6
    dạng đặc biệt của nguồn nhiệt F thường được xem xét. Trong [64], dạng
    F(x,t) g (x,t) f (x)g(t) f (t)g (x) = + + 0 1 2 2
    được khảo sát. Các tác giả Isakov [51], D. N. Hao [42] khảo sát dạng nguồn
    nhiệt
    F(x,t) (x,t)f (x) = ϕ
    với f(x) là ẩn hàm và ϕ(x, t) là hàm trọng lượng (weight function) đã cho chính
    xác. Cannon-Esteva, Đinh Nho Hào, Saitoh-Vũ Kim Tuấn-Yamamoto,
    Yamamoto [20, 21, 40, 75, 82] đã khảo sát dạng tách biến
    F(x, t) (x)f (t) = ϕ
    trong đó một trong hai hàm là ẩn hàm. Hàm u u ≡ ϕ
    và F F ≡ ϕ
    là hàm phụ thuộc
    phi tuyến vào ϕ. Nếu hàm ϕ đã biết chính xác (exactly given function) thì bài
    toán trở thành tuyến tính. Để giải được bài toán này một số điều kiện được bổ
    sung thêm (overdetermination conditions). Trường hợp bổ sung thêm giá trị nhiệt
    độ đo ở phần trong của vật thể, bài toán khảo sát sự ổn định của nguồn nhiệt
    được trình bày trong [20, 21, 75, 82]. Bài toán tồn tại và duy nhất cho bài toán
    hệ số trên miền không gian là đoạn (0,1) đã được khảo sát trong [40] sử dụng
    điều kiện Cauchy ở một phần của biên.
    Trong luận án này, chúng tôi xét bài toán xác định nguồn nhiệt có dạng
    hai chiều không gian có dạng ϕ(t)f (x, y) với ϕ(t) là hàm cho biết không chính
    xác (inexactly given function) và điều kiện bổ sung của chúng tôi cũng là điều
    kiện cuối (final overdetermination) như trong [51]. Công trình của chúng tôi
    khác các kết quả được phát biểu bởi Isakov ở những điểm sau:
    Thứ nhất, bài toán trong [50, 51] được khảo sát ở khía cạnh ổn định và duy
    nhất, còn công trình của chúng tôi khảo sát việc chỉnh hóa bài toán. Như chúng
    tôi đã phân tích ở phần đầu, đó là hai bài toán khác nhau. Lời nói đầu 7
    Thứ hai, trong [51], hàm ϕ(x,t) xem như biết chính xác, do đó, như đã lưu
    ý, kết quả phát biểu trong [51] (Định lý 9.1.1, trang 222) được sử dụng cho bài
    toán tuyến tính. Trong khi đó, trong bài toán chúng tôi nghiên cứu, hàm ϕ(t)
    được xem là dữ kiện biết không chính xác, chỉ biết hàm xấp xỉ (t) ϕε
    của ϕ(t) ,
    do đó bài toán tìm (u,F) (u ,F ) ≡ ϕ ϕ
    là phi tuyến.
    Thứ ba, dạng nguồn nhiệt chúng tôi khảo sát có vẻ đơn giản hơn dạng khảo
    sát trong [51]. Tuy nhiên đi kèm với dạng nguồn nhiệt là các điều kiện trên đó.
    Với đặc điểm phức tạp của loại toán này, với các điều kiện khác nhau, phương
    pháp giải quyết có thể khác nhau hoàn toàn. Do đó dạng tổng quát của nguồn
    nhiệt như trong [51] nếu chưa xét đến các điều kiện thì chưa thể so sánh thỏa
    đáng được. Thực tế, Isakov đã chứng minh được rằng nếu có điều kiện
    (9.1.1)
    t
    0 , ≤ ϕ ≤ ϕ 0 trên Q và ϕ > ε > 0 trên Ω×(T)
    thì bài toán ổn định nghiệm trong không gian các hàm có đạo hàm liên tục với
    cấp thích hợp. Vậy với điều kiện này, bài toán trở thành chỉnh trong
    (2 )
    C

    ([51]
    không xét bài toán trên trong không gian các hàm khả tích
    2
    L với điều kiện đầu
    và cuối cũng thuộc
    2
    L ). Tuy nhiên, nếu điều kiện (9.1.1) nói trên không thỏa thì
    như chúng tôi đã trích dẫn, bài toán có thể không duy nhất nghiệm (xem [51],
    trang 222), nghĩa là bài toán trở thành không chỉnh. Trong công trình [79], các
    điều kiện trên hàm ϕ được giảm nhẹ rất nhiều (xem Chương 4 của luận án) và
    do đó nằm ngoài phạm vi của các kết quả trình bày trong [50, 51].
    Thứ tư, để thực hiện chỉnh hóa một cách tường minh, chúng tôi sử dụng các
    điều kiện dạng Dirichlet trên một phần biên do các ý nghĩa vật lý của bài toán.
    Việc chỉnh hóa mà không sử dụng thêm các điều kiện Dirichlet đang được
    nghiên cứu tiếp tục, chúng tôi hy vọng rằng sẽ có tiến triển trong tương lai gần.


    Xem Thêm: Bài toán ngược trong lý thuyết nhiệt
    Nội dung trên chỉ thể hiện một phần hoặc nhiều phần trích dẫn. Để có thể xem đầy đủ, chi tiết và đúng định dạng tài liệu, bạn vui lòng tải tài liệu. Hy vọng tài liệu Bài toán ngược trong lý thuyết nhiệt sẽ giúp ích cho bạn.
    #1
  7. Đang tải dữ liệu...

    Chia sẻ link hay nhận ngay tiền thưởng
    Vui lòng Tải xuống để xem tài liệu đầy đủ.

    Gửi bình luận

    ♥ Tải tài liệu

social Thư Viện Tài Liệu

Từ khóa được tìm kiếm

Nobody landed on this page from a search engine, yet!

Quyền viết bài

  • Bạn Không thể gửi Chủ đề mới
  • Bạn Không thể Gửi trả lời
  • Bạn Không thể Gửi file đính kèm
  • Bạn Không thể Sửa bài viết của mình
  •  
DMCA.com Protection Status