Tìm kiếm
Đang tải khung tìm kiếm
Kết quả 1 đến 1 của 1

    THẠC SĨ Bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao

    D
    dream dream Đang Ngoại tuyến (18495 tài liệu)
    .:: Cộng Tác Viên ::.
  1. Gửi tài liệu
  2. Bình luận
  3. Chia sẻ
  4. Thông tin
  5. Công cụ
  6. Bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao

    Đề tài: Bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao
    LỜI CẢM ƠN
    Đầu tiên tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn,
    mặc dù bận rất nhiều việc nhưng đã tận tâm hướng dẫn và tạo điều kiện tối đa để tôi có thể
    hoàn thành luận văn. Nhân đây em cũng xin lỗi thầy vì đã làm thầy thất vọng về mình trong
    thời gian làm luận văn, và mong thầy luôn có sức khỏe tốt và thành công trong công việc.
    Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã giành thời
    gian đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến giúp cho tôi hoàn thành luận văn này một cách hoàn
    chỉnh.
    Tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng KHCN-Sau Đại học cùng toàn thể thầy cô khoa
    Toán-Tin học trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện
    tốt nhất cho tôi trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu tại trường.
    Tôi cũng chân thành cảm ơn gia đình, các anh chị đồng nghiệp và bạn bè thân hữu đã
    động viên, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
    Cuối cùng, trong quá trình viết luận văn này khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong
    nhận được sự góp ý của Quý Thầy Cô và bạn đọc nhằm bổ sung và hoàn thiện đề tài hơn.
    Xin chân thành cảm ơn.
    TP Hồ Chí Minh tháng 10 năm 2010 DANH MỤC KÍ HIỆU
     I a b   , 

    n
    R là không gian vectơ n chiều với vectơ cột  
    1
    n
    i
    i
    x x

     trong đó
    i
    x R 
    Trên
    n
    R ta trang bị chuẩn:
    1
    n
    i
    i
    x x

    

    n n
    R

    là không gian các ma trận cấp n n   
    , 1
    n
    ik
    i k
    X x

     trong đó
    x R i k n
    ik    , 1,2, .,  với chuẩn:
    , 1
    n
    ik
    i k
    X x

     
      
    1
    : 0; 1, ., 
    n n n
    i i
    i
    R x R x i n
     
        ,  
    , 1
    : 0; , 1, ., 
    n n n n
    ik ik
    i k
    R x R x i k n

     
       
     Nếu ,
    n
    x y R  và ,
    n n
    X Y R

     thì:
    ,
    n n n
    x y y x R X Y Y X R

             
     Nếu  
    n n
    i
    i
    x x R   và  
    , 1
    n n n
    ik
    i k
    X x R


      thì:
           
    1 , 1 1
    , , sgn sgn
    n n n
    i ik i
    i i k i
    x x X x x x
      
      
      ; 
    n
    C I R không gian các vectơ hàm liên tục :
    n
    x I R  với chuẩn
    x x t t I
    C
      max :    
     C
    với   0 là không gian các hàm liên tục  -tuần hoàn u R R :  với chuẩn:
    u u t t R
    C
    max :    

     
      
    1
    0;
    n
    C 

    là không gian các hàm u R : 0;    khả vi liên tục cấp (n – 1) với
    chuẩn
       
     
    1    
    1
    0;
    1
    n max : 0
    n
    k
    C
    k
    u u t t

     


       

    n 1
    C

    là không gian các hàm khả vi liên tục cấpn 1, -tuần hoàn với chuẩn  
    1
    1
    1
    n
    n
    k
    C
    C
    k
    u u





    


    n 1
    C

    là không gian các hàm
    n 1
    u C

     với
     n 1
    u

    là liên tục tuyệt đối.
     L0; là không gian các hàm khả tích Lebesgue u R : 0;    với chuẩn
       
     
    0;
    0
    L
    u u t dt




      ; 
    n
    L I R không gian các vectơ hàm khả tích :
    n
    x I R  với chuẩn
     
    b
    L
    a
    x x t dt 

     L
    là không gian các hàm u R R :  ,  -tuần hoàn, khả tích Lebesgue trên 0; với
    chuẩn
     
    0
    L
    u u s ds



    MỞ ĐẦU
    1. Lý do chọn đề tài
    Lý thuyết bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân thường và phương trình vi
    phân hàm ra đời từ thế kỷ 18, song đến nay vẫn được nhiều người quan tâm nhờ các ứng
    dụng rộng rãi của nó trong các lĩnh vực vật lý, cơ học, kinh tế, nông nghiệp, . Đặc biệt, bài
    toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm đạt được nhiều kết quả bắt đầu từ năm
    1995 nhờ các kết quả của các tác giả như I. Kiguradze, B. Puza cho hệ phương trình vi phân
    hàm tổng quát. Các kết quả về phương trình vi phân hàm bậc cao cũng được nghiên cứu một
    cách rộng rãi và cũng đạt được nhiều kết quả đáng chú ý. Vì vậy chúng tôi chọn đề tài này
    làm nội dung nghiên cứu của luận văn nhằm học tập và phát triển đề tài của mình theo hướng
    của các tác giả trên.
    2. Mục đích nghiên cứu
    Nghiên cứu tính giải được của bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm
    bậc cao. Từ đó, áp dụng các kết quả đạt được cho phương trình vi phân đối số chậm, đối số
    lệch.
    3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
    Lý thuyết bài toán biên, giải tích hàm, lý thuyết phương trình vi phân hàm. Lý thuyết
    bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao.
    4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu
    Luận văn là tài liệu tham khảo cho tất cả mọi người quan tâm đến bài toán biên tuần
    hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao.
    5. Cấu trúc luận văn
    Nội dung chính của luận văn gồm 2 chương
    Chương 1: Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến
    Nội dung chính của chương là nghiên cứu sự tồn tại nghiệm đối với bài toán biên cho
    hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến.
    Chương 2: Nghiệm tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao
    Chương này nghiên cứu tính giải được của bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi
    phân hàm bậc cao và áp dụng các kết quả cho phương trình vi phân đối số lệch, đối số chậm. Chương 1. BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO
    HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM PHI TUYẾN
    1.1 Giới thiệu bài toán
    Cho : ; ;    
    n n
    f C I R L I R  và : ;  
    n n
    h C I R R  là các toán tử liên tục thỏa với mọi
       0;  thì:
            
         
    sup . : ; , ;
    sup : ; ,
    n
    C
    n
    C
    f x x C I R x L I R
    h x x C I R x


      
       
    Xét hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến:
     
      
    dx t
    f x t
    dt
     (1.1)
    với điều kiện biên
    h x   0 (1.2)
    Định nghĩa 1.1
    Nghiệm của của bài toán (1.1), (1.2) là các vectơ hàm liên tục tuyệt đối :
    n
    x I R  ,
    thỏa (1.1) hầu khắp nơi trên I và thỏa (1.2).
    Trong phần hai ta nghiên cứu các điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của phương trình
    (1.1), (1.2). Trong phần ba, ta thiết lập các tiêu chuẩn cho sự tồn tại nghiệm của bài toán
    biên:
     
    0   ,  
    dx t
    f t x t
    dt
     (1.3)
    x t x A x x t x c  1 2 0          (1.4)
    trong đó
    0
    :
    n n
    f I R R   là vectơ hàm thỏa điều kiện Caratheodory,
    0
    n
    c R  và
    : ;  
    n
    i
    t C I R I  và : ;  
    n n n
    A C I R R  
    là toán tử liên tục. 1.2 Định lý tồn tại nghiệm của bài toán (1.1), (1.2)
    Định nghĩa 1.2
    Cặp toán tử  p l,  với : ; ; ;      
    n n n
    p C I R C I R L I R   và
    : ; ;    
    n n n
     C I R C I R R   được gọi là nhất quán nếu thỏa các điều kiện sau:
    i) Với mỗi  ; 
    n
    x C I R  cố định, toán tử   ,. : ; ;    
    n n
    p x C I R L I R  và
      ,. : ;  
    n n
     x C I R R  là tuyến tính.
    ii) Với mọi , ;  
    n
    x y C I R  và hầu hết t I  ta có các bất đẳng thức:
     , ,     C C
    p x y t t x y  ,  ,  0   C C
     x y x y  ,
    trong đó
    0  : R R    là hàm không giảm và  : I R R   
    khả tích theo đối số
    thứ nhất và không giảm theo đối số thứ hai.
    iii) Tồn tại số thực dương  sao cho với mọi  ; 
    n
    x C I R  ,  ; 
    n
    q C I R  và
    0
    n
    c R  ,
    và với mọi nghiệm bất kỳ y của bài toán biên:
     
           0
    , , ,
    dy t
    p x y t q t x y c
    dt
        (1.5)
    thỏa  0 
    C L
    y c q    (1.6)
    Định lý 1.3
    Giả sử tồn tại số dương ρ và cặp nhất quán  p, với
    : ; ; ;      
    n n n
    p C I R C I R L I R   và : ; ;    
    n n n
     C I R C I R R   là các toán tử liên tục
    sao cho   0;1mọi nghiệm của bài toán
     
             , ,
    dx t
    p x x t f x t p x x t
    dt
         
     
    (1.7)
     x x x x h x , ,          
     
      (1.8)
    thỏa
    C
    x   (1.9)Khi đó bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm.
    Chứng minh
    Gọi
    0  , và  là các hàm và các số trong định nghĩa 1.2. Ta đặt:
              
    0 0          
    2 ,2 sup : ; , 2
    2 2 sup : ; , 2
    n
    C
    n
    C
    t t f x t x C I R x
    t h x x C I R x
       
       
       
       
       
    1 khi 0
    2 khi 2 1
    0 khi 2
    s
    s
    s s s
    s

       


      
          
     
    (1.10)
             ,  
    C
    q x t x f x t p x x t     
     
    (1.11)
            0
    ,
    C
    c x x x x h x     
     

    Khi đó do định nghĩa của f và α ta có     0
      t L I R    ; , và với mỗi  ; 
    n
    x C I R  ta có
      0 2 , 1 2   C C C
        x x x x       nên với hầu hết t I  , ta có bất đẳng thức:
    q x t t c x         ,
    0 0   (1.12)
    ( do    0 2
    C
    q x t x     )
    Cố định  ; 
    n
    x C I R  , xét bài toán biên tuyến tính
     
              0
    , , ,
    dy t
    p x y t q x t x y c x
    dt
        (1.13)
    Theo điều kiện (iii) của định nghĩa 1.2 thì bài toán thuần nhất
     
         , , , 0
    dy t
    p x y t x y
    dt
       (1.130)
    chỉ có nghiệm tầm thường. Theo định lý 1.1 ([5]) từ điều kiện (i), (ii) của định nghĩa 1.2 và
    (1.130) chỉ có nghiệm tầm thường nên bài toán (1.13) có nghiệm duy nhất. Mặt khác, từ các điều kiện (ii), (iii) của định nghĩa 1.2 và các bất đẳng thức trong (1.12),
    nghiệm y của bài toán (1.13) thỏa
       
    *
    0
    ,
    C
    y y t t      hầu hết t I  (1.14)
    trong đó        
    *
    0 0 0 0
    , ,
    L
                 t t t
    Đặt : ; ;    
    n n
    u C I R C I R  là toán tử đặt tương ứng mỗi  ; 
    n
    x C I R  với nghiệm y trong
    bài toán (1.13). Từ hệ quả (1.6) ( hệ quả của định lý về tính xấp xỉ nghiệm của bài toán biên
    của hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính trong [5]), thì toán tử u liên tục. Mặt khác, từ các
    bất đẳng thức (1.14) ta có:          
    *
    0
    ,
    t
    C
    s
    u x u x t u x s d       

    với s, t ∈ I.
    Đặt
    0   ; : 0
    n
    C
    C x C I R x
         , khi đó u là toán tử liên tục từ
    0
    C
    vào tập con compact
    của chính nó, nên theo nguyên lý Schauder, tồn tại
    0
    x C 
    sao cho u x t x t       với t ∈ I.
    Theo đẳng thức (1.11), x rõ ràng là nghiệm của bài toán (1.7), (1.8) với
      C
      x (1.15)
    Chúng ta cần chứng minh x thỏa (1.9). Giả sử ngược lại, khi đó sẽ xảy ra hai trường hợp
    2
    C
        x (1.16)
    Hoặc 2
    C
    x   (1.17)
    Nếu bất đẳng thức (1.16) thỏa mãn, thì theo (1.10) và (1.15) thì  0,1. Tuy vậy, theo điều
    kiện của định lý ta có (1.9) nên mâu thuẫn với (1.16).
    Nếu (1.17) thỏa. Khi đó theo (1.10) và (1.15) thì   0 , suy ra x là nghiệm của bài toán
    (1.130). Điều này là không thể vì (1.130) chỉ có nghiệm tầm thường.
    Từ các điều trên ta thấy x thỏa (1.9).
    Do đó, từ (1.9), (1.10), (1.15) rõ ràng  1, suy ra x là nghiệm của bài toán (1.1), (1.2).  Định nghĩa 1.4
    Cho : ; ; ;      
    n n n
    p C I R C I R L I R   và : ; ;    
    n n n
     C I R C I R R   bất kì, và
    0
    : ; ;    
    n n
    p C I R L I R  và : ;  
    n n
     C I R R  là các toán tử tuyến tính. Chúng ta nói rằng
    cặp  p
    0 0
    , thuộc về lớp
    ,
    n
     p l
    nếu tồn tại dãy  ; 1,2,  
    n
    k
    x C I R k   sao cho với mỗi
     ; 
    n
    y C I R  các điều kiện sau được thỏa mãn:
          0
    0 0
    lim ,
    t t
    k
    k
    p x y s ds p y s ds
    

     
    đều trên I
    lim ,   0   k
    k
    x y y
    
      
    Định nghĩa 1.5
    Ta nói cặp toán tử liên tục : ; ; ;      
    n n n
    p C I R C I R L I R   và
    : ; ;    
    n n n
     C I R C I R R   , thuộc lớp
    0
    n
    O nếu:
    i) Với x cố định thuộc  ; 
    n
    C I R thì toán tử   ,. : ; ;    
    n n
    p x C I R L I R  và
      ,. : ;  
    n n
     x C I R R  là các toán tử tuyến tính.
    ii’) Với bất kì x và y thuộc  ; 
    n
    C I R và hầu hết t I  , các bất đẳng thức
           0
    , , ,
    C C
    p x y t t y x y y     
    thỏa mãn, trong đó  :I R  
    là khả tích và 0 R
    iii’) Với mỗi  0 0
    , 
    n
    pl
    p   , bài toán
     
    0 0      , 0
    dy t
    p y t y
    dt
       (1.18)
    chỉ có nghiệm tầm thường.
    Hệ quả 1.6


    Xem Thêm: Bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao
    Nội dung trên chỉ thể hiện một phần hoặc nhiều phần trích dẫn. Để có thể xem đầy đủ, chi tiết và đúng định dạng tài liệu, bạn vui lòng tải tài liệu. Hy vọng tài liệu Bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao sẽ giúp ích cho bạn.
    #1
  7. Đang tải dữ liệu...

    Chia sẻ link hay nhận ngay tiền thưởng
    Vui lòng Tải xuống để xem tài liệu đầy đủ.

    Gửi bình luận

    ♥ Tải tài liệu

social Thư Viện Tài Liệu

Từ khóa được tìm kiếm

Nobody landed on this page from a search engine, yet!

Quyền viết bài

  • Bạn Không thể gửi Chủ đề mới
  • Bạn Không thể Gửi trả lời
  • Bạn Không thể Gửi file đính kèm
  • Bạn Không thể Sửa bài viết của mình
  •  
DMCA.com Protection Status