Tìm kiếm
Đang tải khung tìm kiếm
Kết quả 1 đến 1 của 1

    THẠC SĨ Định lý LEVY-STEINITZ về miền tổng của chuỗi

    D
    dream dream Đang Ngoại tuyến (18495 tài liệu)
    .:: Cộng Tác Viên ::.
  1. Gửi tài liệu
  2. Bình luận
  3. Chia sẻ
  4. Thông tin
  5. Công cụ
  6. Định lý LEVY-STEINITZ về miền tổng của chuỗi

    Đề tài: Định lý LEVY-STEINITZ về miền tổng của chuỗi
    LỜI CẢM ƠN
    Qua luận văn này em xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Đậu
    Thế Cấp, người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp em tích lũy những
    kinh nghiệm bổ ích để hoàn thành luận văn này.
    Trong suốt quá trình học tập, em đã nhận được những kiến thức
    quý báu từ các thầy cô trong khoa Toán-Tin trường Đại học Sư Phạm
    Tp.HCM và trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên. Qua luận văn này em
    xin gửi đến các thầy cô lòng tri ân thành kính nhất.
    Cuối cùng, em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô làm việc tại
    phòng KHCN-SĐH đã giúp em rất nhiều trong quá trình học tập và khi
    thực hiện luận văn này.
    ***********************
    Phạm Ngọc TuấnMỤC LỤC
    trang
    MỞ ĐẦU 1
    Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5
    1.1 Ánh xạ hạch và không gian hạch . 5
    1.2 Các kiến thức cơ bản về chuỗi . 12
    1.3 Một số kiến thức bổ sung . 13
    Chương 2 ĐỊNH LÝ LEVY-STEINITZ TRONG KHÔNG
    GIAN HỮU HẠN CHIỀU 15
    Chương 3 ĐỊNH LÝ LEVY-STEINITZ TRONG KHÔNG
    GIAN VECTƠ TÔPÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG KHẢ
    MÊTRIC 24
    Chương 4 ĐỊNH LÝ LEVY-STEINITZ TRONG KHÔNG
    GIAN HẠCH 36
    KẾT LUẬN 49
    TÀI LIỆU THAM KHẢO 511
    MỞ ĐẦU
    1. Lý do chọn đề tài
    Lý thuyết chuỗi đóng một vai trò quan trọng trong giải tích toán học.
    Các loại chuỗi khác nhau như chuỗi số, chuỗi hàm hay chuỗi vectơ được
    áp dụng khá nhiều trong các lĩnh vực toán học như là công cụ để xấp xỉ
    một số đối tượng toán học. Ví dụ như chuỗi lũy thừa cho phép ta xấp
    xỉ các hàm giải tích bằng các đa thức. Nhờ có chuỗi Fourier các hàm
    tuần hoàn có thể được xấp xỉ bởi các đa thức lượng giác hoặc đa thức
    mũ. Nghiệm của các bài toán vật lý, hóa học . được trình bày dưới dạng
    chuỗi của các hàm đặc biệt.
    Trong giải tích, khái niệm chuỗi nảy sinh khi lấy tổng của vô hạn
    phần tử và các tính chất đơn giản nhất của tổng hữu hạn cũng đúng
    trên chuỗi. Ngoại trừ tính chất giao hoán, khi thay đổi thứ tự các số
    hạng trong một chuỗi thì tổng có thể thay đổi. Hai câu hỏi được đặt
    ra là: thứ nhất, đối với những chuỗi nào tổng của chuỗi sẽ không thay
    đổi khi thay đổi thứ tự các phần tử của tổng; thứ hai, nếu tổng của
    chuỗi thay đổi thì sẽ thay đổi như thế nào? Hai câu hỏi trên được đặt ra
    và được giải quyết bởi Riemann đối với chuỗi số thực. Cụ thể trong R
    miền tổng của chuỗi hoặc chỉ là một điểm hoặc toàn bộ R. Trong không
    gian hữu hạn chiều (với số chiều lớn hơn 1) Levy-Steinitz đã chứng minh
    định lý "Giả sử chuỗi
    P∞
    i=1
    xi hội tụ về s trong không gian m chiều E.2
    Khi đó miền tổng của chuỗi
    P
    xi
    là đa tạp n chiều (n ≤ m), cụ thể là
    DS(
    P
    xi) = s + Γ◦". Định lý này cho ta một miêu tả đầy đủ về miền
    tổng của chuỗi hội tụ là một đa tạp tuyến tính, lồi và đóng. Sau đó
    W. Banasczyk, J. Bonet, A. Defant . đã chứng minh các kết quả tương
    tự Định lý Levy-Steinitz trong không gian vô hạn chiều. Nhận thấy ý
    nghĩa của Định lý Levy-Steinitz, chúng tôi chọn "Định lý Levy-Steinitz
    về miền tổng của chuỗi" làm chủ đề cho luận văn thạc sĩ.
    2. Mục đích
    Nghiên cứu Định lý Levy-Steinitz trong không gian hữu hạn chiều và
    các định lý tương tự Định lý Levy-Steinitz trong không gian vô hạn chiều
    với điều kiện thu hẹp được đặt lên chuỗi hoặc lên không gian.
    3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
    Trong luận văn này chúng tôi sẽ trình bày miền tổng của chuỗi trong
    không gian R
    n
    , không gian vectơ tôpô lồi địa phương khả mêtric (kèm
    theo điều kiện được đặt lên chuỗi) và không gian hạch. Luận văn gồm
    4 chương, chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian
    hạch, chuỗi và một số kiến thức bổ sung. Trong chương 2 trình bày Định
    lý Levy-Steinitz trong không gian hữu hạn chiều R
    n
    . Giả sử
    P∞
    k=1
    xk là
    một chuỗi trong không gian R
    n
    . Theo Định lý Riemann, nếu n = 1 thì
    DS(
    P∞
    k=1
    xk) = R với mọi chuỗi hội tụ có điều kiện trong R. Nhưng khi
    n > 1, miền tổng của chuỗi hội tụ có điều kiện thì không nhất thiết là
    toàn bộ không gian. Chẳng hạn, nếu tất cả các số hạng của một chuỗi3
    hội tụ có điều kiện điều phụ thuộc tuyến tính vơi vectơ e thì miền tổng
    của chuỗi vẫn phụ thuộc tuyến tính với e. Trong trường hợp này miền
    tổng của chuỗi là đường thẳng đi qua 0 và e. Định lý Levy-Steinitz cho
    chúng ta một mô tả đầy đủ về miền tổng của chuỗi trong không gian
    hữu hạn chiều (miền tổng của chuỗi là một đa tạp tuyến tính, và do
    đó đóng và lồi). Trong không gian vô hạn chiều chúng ta mong muốn
    có những kết quả tương tự Định lý Levy-Steinitz. Tuy nhiên chúng ta
    không thể dùng các kết quả trong không gian hữu hạn chiều để áp lên
    không gian vô hạn chiều. Trong [6] có những ví dụ về miền tổng của
    chuỗi hội tụ có điều kiện trong không gian vô hạn chiều có thể chỉ là
    một điểm; không lồi; không đóng hoặc không tuyến tính . Vì vậy để đạt
    được định lý tương tự Định lý Levy-Steinitz ta cần phải đặt thêm điều
    kiện lên chuỗi hoặc lên không gian. Trong chương 3, ta sẽ chứng minh
    kết quả tương tự Định lý Levy-Steinitz trong không gian vectơ tôpô lồi
    địa phương khả mêtríc với điều kiện thu hẹp được đặt lên chuỗi: điều
    kiện (σ, θ). Một chuỗi
    P
    ai trong không gian vectơ tôpô E được gọi là
    thỏa điều kiện (σ, θ) nếu với mọi phép hoán vị σ : N → N, luôn tồn tại
    một dãy (θi)

    i=1 với θi ∈ {ư1, 1} sao cho chuỗi
    P∞
    i=1
    aσ(i)θi hội tụ trong
    E. Trong chương 4, ta sẽ chứng minh Định lý Levy-Steinitz đúng trong
    không gian hạch khả mêtric mà không cần bất cứ điều kiện gì đặt lên
    chuỗi.
    4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
    Định Lý Levy-Steinitz cho ta một cái miêu tả đầy đủ về miền tổng của4
    chuỗi trong không gian hữu hạn chiều. Hơn nữa Định lý Levy-Steinitz là
    tiền đề cho các nhà toán học có cơ sở để nghiên cứu sâu hơn miền tổng
    của chuỗi hay tổng quát hơn là chuỗi trong không gian vô hạn chiều.5
    Chương 1
    MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
    1.1 Ánh xạ hạch và không gian hạch
    Cho E và Eα(α ∈ A) là các không gian vectơ trên trường K, fα ánh xạ
    tuyến tính từ E vào Eα, và Tα là một tôpô lồi địa phương trên Eα(α ∈ A).
    Tôpô xạ ảnh T trên E tương ứng với họ {(Eα, Tα, fα) : α ∈ A} là tôpô
    thô nhất trên E sao cho mỗi ánh xạ fα(α ∈ A) từ E vào (Eα, Tα) là liên
    tục.
    Từ định nghĩa trên ta có nếu x ∈ E và xα = fα(x) ∈ Eα thì một cơ sở
    T -lân cận của x được cho bởi họ
    T
    α∈H f
    ư1
    α
    (Uα), với Uα là lân cận tùy ý
    của xα tương ứng với Tα và H là một tập con hữu hạn tùy ý của A. Vì
    fα là các ánh xạ tuyến tính và Tα là tôpô lồi địa phương trên Eα nên T
    là tôpô lồi địa phương trên E.
    Định lý 1.1 [8] Tôpô xạ ảnh trên E tương ứng với họ {(Eα, Tα, fα) :
    α ∈ A} là tôpô Hausdorff nếu và chỉ nếu với mỗi 0 =6 x ∈ E, tồn tại
    α ∈ A và một lân cận Uα của 0 trong Eα sao cho fα(x) ∈/ Uα.6
    Định lý 1.2 [8] Một ánh xạ u từ không gian vectơ F vào không gian
    vectơ E, với tôpô trên E là tôpô xạ ảnh cảm sinh bởi họ {(Eα, Tα, fα) :
    α ∈ A}, là liên tục nếu và chỉ nếu với mỗi α ∈ A, fα ◦ u liên tục từ F
    vào (Eα, Tα).
    Cho A là một tập chỉ số cùng với một quan hệ thứ tự ” ≦ ”. Cho
    {Eα : α ∈ A} là họ không gian lồi địa phương trên K và với α ≦ β, gαβ
    là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ Eβ vào Eα. E là không gian con của
    Q
    α Eα thỏa với mỗi x = (xα) ∈ E thì xα = gαβ(xβ) với mọi α ≦ β; E
    được gọi là giới hạn xạ ảnh của họ {Eα : α ∈ A} tương ứng với các ánh
    xạ gα,β(α, β ∈ A; α ≦ β), và ký hiệu là lim

    gαβ(Eβ). Hiển nhiên rằng tôpô
    trên E là tôpô xạ ảnh trên E tương ứng với họ {(Eα, Tα, fα) : α ∈ A}
    với Tα là tôpô trên Eα và fα là thu hẹp của lên E của ánh xạ chiếu
    pα :
    Q
    β
    : Eβ → Eα.
    Định lý 1.3 [8] Giới hạn xạ ảnh của một họ các không gian lồi địa
    phương tựa đầy đủ (đầy đủ) là tựa đầy đủ (đầy đủ).
    Định lý 1.4 [8] Mỗi không gian vectơ tôpô lồi địa phương đầy đủ E thì
    đẳng cấu với giới hạn xạ ảnh của một họ các không gian Banach; họ này
    có thể được chọn sao cho lực lượng của nó bằng với lực lượng của cơ sở
    lân cận 0 của E.
    Hệ quả 1.1 [8] Mỗi không gian Frechet thì đẳng cấu với giới hạn xạ ảnh
    một một dãy các không gian Banach.7
    Hệ quả 1.2 [8] Mỗi không gian lồi địa phương thì đẳng cấu với một
    không gian con của một tích các không gian Banach.
    Cho E là không gian vectơ trên trường K và V là một tập lồi, cân và
    hấp thụ của E. Khi đó {n
    ư1
    V : n ∈ N} là một cơ sở lân cận của tôpô
    lồi địa phương ℑV trên E. Không gian vectơ tôpô Haudorff kết hợp với
    (E, ℑV ) là không gian thương (E, ℑV )/p
    ư1
    (0), với p là hàm cở của V ;
    không gian thương này là khả chuẩn với chuẩn xˆ → ||xˆ|| = p(x), x ∈ xˆ.
    Ta ký hiệu EV là không gian định chuẩn (E/p
    ư1
    (0), ||.||) vừa mới giới
    thiệu ở trên và E˜
    V là đầy đủ hóa của nó (E˜
    V là không gian Banach).
    Nếu E là không gian lồi địa phương và V là lân cận lồi cân thì tôpô
    của không gian thương E/p
    ư1
    (0) mịn hơn tôpô của EV . Do vậy ánh xạ
    thương (ánh xạ chính tắc) là liên tục từ E vào E˜
    V ; ký hiệu ánh xạ này
    là ΦV .
    Đối ngẫu lại, nếu E là không gian lồi địa phương và B =6 ∅ là tập lồi,
    cân và bị chặn của E thì E1 =
    S∞
    n=1 nB là không gian con của E. Hàm cở
    pB của B trong E1 là một chuẩn trên E1; Không gian định chuẩn (E1, pB)
    được ký hiệu là EB. Rõ ràng phép nhúng (chính tắc) ΨB : EB → E là
    liên tục. Hơn nữa nếu B đầy đủ trong E thì EB là không gian đầy đủ.
    Trong trường hợp V = B là tập lồi, cân, hấp thụ và bị chặn thì EV và
    EB là đồng nhất.
    Nếu U và V là các tập lồi, cân và hấp thụ của E với các hàm cở
    tương ứng p, q và thỏa U ⊂ V , thì p
    ư1
    (0) ⊂ q
    ư1
    (0) và mỗi lớp tương
    đương xˆ mod p
    ư1
    (0) được chứa trong duy nhất một lớp tương đương
    yˆ mod q
    ư1
    (0); xˆ → yˆ là một ánh xạ tuyến tính ΦV,U và gọi là ánh xạ


    Xem Thêm: Định lý LEVY-STEINITZ về miền tổng của chuỗi
    Nội dung trên chỉ thể hiện một phần hoặc nhiều phần trích dẫn. Để có thể xem đầy đủ, chi tiết và đúng định dạng tài liệu, bạn vui lòng tải tài liệu. Hy vọng tài liệu Định lý LEVY-STEINITZ về miền tổng của chuỗi sẽ giúp ích cho bạn.
    #1
  7. Đang tải dữ liệu...

    Chia sẻ link hay nhận ngay tiền thưởng
    Vui lòng Tải xuống để xem tài liệu đầy đủ.

    Gửi bình luận

    ♥ Tải tài liệu

social Thư Viện Tài Liệu

Từ khóa được tìm kiếm

Nobody landed on this page from a search engine, yet!

Quyền viết bài

  • Bạn Không thể gửi Chủ đề mới
  • Bạn Không thể Gửi trả lời
  • Bạn Không thể Gửi file đính kèm
  • Bạn Không thể Sửa bài viết của mình
  •  
DMCA.com Protection Status