Tìm kiếm
Đang tải khung tìm kiếm
Kết quả 1 đến 1 của 1

    TIẾN SĨ Đặc trưng một số lớp vành Artin và Noether

    D
    dream dream Đang Ngoại tuyến (18524 tài liệu)
    .:: Cộng Tác Viên ::.
  1. Gửi tài liệu
  2. Bình luận
  3. Chia sẻ
  4. Thông tin
  5. Công cụ
  6. Đặc trưng một số lớp vành Artin và Noether

    Luận án tiến sĩ năm 2011
    Đề tài: Đặc trưng một số lớp vành Artin và Noether

    MỤC LỤC
    Lời cảm ơn ii
    Mục lục 1
    Bảng kí hiệu 3
    Mở đầu 4
    1 Kiến thức chuẩn bị 12
    1.1. Các khái niệm cơ bản 12
    1.2. Môđun nội xạ, môđun xạ ảnh và các mở rộng 17
    1.3. Vành Artin, vành Noether và các lớp vành liên quan 19
    2 Vành CS - nửa đơn 23
    2.1. Một số bổ đề cần thiết . 24
    2.2. Đặc trưng vành CS - nửa đơn 27
    2.3. Kết luận Chương 2 . 33
    3 QF-vành 35
    3.1. Một số bổ đề cần thiết . 36
    3.2. Đặc trưng QF-vành . 38
    3.3. Kết luận Chương 3 . 43
    4 Điều kiện để một số lớp vành trở thành Noether 44
    4.1. Một số bổ đề cần thiết . 45
    4.2. Khi nào một V-vành là Noether . 48
    2
    4.3. Điều kiện để một vành đơn là Noether . 51
    4.4. Khi nào một vành đơn là SI . 56
    4.5. Kết luận Chương 4 . 59
    Kết luận của luận án 61
    Danh mục các công trình liên quan 62
    Tài liệu tham khảo 62

    MỞ ĐẦU
    1. Lý do chọn đề tài
    1.1. Trong đại số nói chung và lý thuyết vành nói riêng, đặc trưng tính
    Artin hoặc tính Noether của một lớp vành nào đó luôn là một trong
    những đề tài rộng và hấp dẫn đối với các nhà nghiên cứu cấu trúc vành.
    Từ định lý cấu trúc Wedderburn - Artin và các điều kiện tương đương,
    các lớp vành: CS- nửa đơn, QF- vành, V- vành và SI- vành đã xuất hiện
    và thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học.
    1.2. Lớp vành CS-nửa đơn là một lớp vành mở rộng thực sự của lớp
    vành Artin nửa đơn và đó là lớp vành Artin hai phía. Các kết quả về
    lớp vành này cho đến những năm 1994 đã được giới thiệu trong [11].
    Đặc trưng vành CS- nửa đơn thông qua tính CS (hoặc các điều kiện yếu
    hơn) trên lớp môđun hữu hạn sinh hoặc đếm được sinh (xem [38], [32])
    là một trong những hướng nghiên cứu về lớp vành này được nhiều nhà
    nghiên cứu cấu trúc vành quan tâm.
    1.3. Lớp QF- vành đã được Nakayama định nghĩa năm 1939, cuốn
    chuyên khảo [54] là một tuyển tập khá đầy đủ các kết quả liên quan đến
    lớp QF-vành, đồng thời phần nào đó nói lên sự quan tâm của các nhà
    nghiên cứu đối với lớp vành này. Trong lý thuyết QF- vành, giả thuyết
    Faith là một trong hai giả thuyết dành được sự quan tâm đặc biệt. Việc
    nghiên cứu góp phần làm sáng tỏ dần giả thuyết Faith là một đề tài
    hấp dẫn.
    1.4. Lớp V- vành và lớp SI- vành là hai hướng mở rộng khác của lớp
    vành Artin nửa đơn. Đặc trưng tính Noether của lớp V- vành đã được
    5
    các nhà toán học quan tâm nghiên cứu từ những năm 1976 (xem [17],
    [11]) và cho đến nay, việc nghiên cứu lớp vành này vẫn là một đề tài
    thú vị. Khác với lớp V- vành, lớp SI- vành là trường hợp đặc biệt của
    lớp vành Noether. Trong lý thuyết SI- vành người ta đặc biệt quan tâm
    đến lớp vành đơn và do đó đặc trưng tính Noether của vành đơn như
    một cầu nối để thiết lập điều kiện cho một vành đơn là SI.
    Với các lý do như đã nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu
    cho luận án của mình là: Đặc trưng một số lớp vành Artin và
    Noether.
    2. Mục đích nghiên cứu
    Mục đích chính của luận án đó là:
    1. Đặc trưng một số lớp vành Artin (CS- nửa đơn, QF- vành) thông
    qua lớp các môđun trên chúng.
    2. Đặc trưng tính Noether của lớp các V- vành và vành đơn, từ đó
    thu được kết quả mới trên SI- vành.
    3. Đối tượng nghiên cứu
    Đối tượng nghiên cứu là lớp các môđun thỏa mãn một số điều kiện
    hữu hạn nhất định.
    4. Phạm vi nghiên cứu
    Nội dung của luận án chủ yếu tập trung nghiên cứu trên các lớp
    vành: CS- nửa đơn, QF- vành, V- vành, vành đơn và SI-vành.
    5. Phương pháp nghiên cứu
    Phương pháp nghiên cứu của luận án là nghiên cứu lý thuyết. Sử
    dụng các kỹ thuật liên quan đến đế của môđun cũng như các kỹ thuật
    6
    khác đã được chúng tôi vận dụng trong mỗi chứng minh.
    6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
    Ý nghĩa khoa học: Góp phần làm phong phú thêm các kết quả và sự
    hiểu biết về các lớp vành CS- nửa đơn, V- vành, SI- vành, vành Noether.
    Đặc biệt, các kết quả trên lớp QF- vành hy vọng phần nào đó sẽ góp
    phần làm sáng tỏ giả thuyết Faith.
    Ý nghĩa thực tiễn: Khi nghiên cứu về các lớp vành kể trên, luận án là
    một trong những tài liệu tham khảo cho các nhà nghiên cứu, học viên
    cao học và sinh viên.
    7. Tổng quan và cấu trúc của luận án
    7.1 Tổng quan luận án: Cùng với nhóm và trường, vành là một trong
    ba cấu trúc cơ bản nhất của đại số và có ứng dụng rộng rãi. Vì vậy
    việc nghiên cứu vành không chỉ thuần túy là do sự đam mê toán học
    mà còn được lôi cuốn bởi sự ứng dụng đa dạng của nó vào các ngành
    khoa học khác. Lý thuyết vành đã xuất hiện khoảng 120 năm nay và
    ngày càng phát triển một cách phong phú trong bối cảnh này. Mục đích
    chính của lý thuyết vành là mô tả cấu trúc của vành. Tuy nhiên, với
    định nghĩa trừu tượng của nó, chúng ta không thể đưa ra được điều gì
    nhiều hơn là các tính chất chung chung. Vì vậy, muốn nghiên cứu cấu
    trúc của vành một cách sâu sắc người ta phải đặt ra các điều kiện cụ
    thể và tìm cách mô tả chúng trên cơ sở các cấu trúc đã biết. Do sự đề
    xuất của các "điều kiện cụ thể" này mà đã xuất hiện nhiều lớp vành cơ
    bản như: vành Artin, vành Noether, vành Goldie, vành Frobenius, vành
    tựa Frobenius (QF - vành), vành hoàn chỉnh, v.v .
    Emil Artin là người đầu tiên đặt nền móng cho việc nghiên cứu cấu
    trúc vành. Năm 1928, ông đã chuyển định lý cấu trúc của Wedderburn
    đối với đại số hữu hạn chiều trên một trường đã cho với điều kiện các
    7
    đại số này không chứa iđêan lũy linh khác không, sang vành thuần túy.
    Để đạt được kết quả này, Artin đã rất sáng tạo bằng cách thay thế điều
    kiện hữu hạn chiều bởi điều kiện tối tiểu đối với iđêan một phía. Qua đó
    cũng đồng thời giải phóng được sự phụ thuộc của vành vào một trường
    đã cho. Đây là một trong những định lý cấu trúc hoàn chỉnh trong đại
    số nói chung và trong lý thuyết vành nói riêng. Có thể nói, định lý này
    đã mở đầu cho sự phát triển của lý thuyết vành một cách có hệ thống.
    Để ghi nhận công lao của Artin, người ta gọi kết quả này là định lý cấu
    trúc Wedderburn - Artin và gọi vành thỏa mãn điều kiện tối tiểu cho
    các iđêan một phía là vành Artin (phía đó). Khi vành Artin không chứa
    iđêan lũy linh khác không thì được gọi là vành Artin nửa đơn.
    Định lý Wedderburn - Artin phát biểu rằng: Một vành R là Artin
    nửa đơn khi và chỉ khi R là tổng trực tiếp hữu hạn một số vành các ma
    trận cấp hữu hạn trên các thể. Như vậy, theo định lý này, vành Artin
    nửa đơn đã được mô tả một cách triệt để qua một số hữu hạn các thể
    và hữu hạn các số nguyên dương (đó là hạng các ma trận). Nói rõ hơn,
    với hữu hạn các số nguyên dương n
    i
    và hữu hạn các thể Si
    , i = 1, 2 .k ,
    đặt Mn
    i
    (Si
    ) là vành các ma trận cấp n
    i
    trên thể Si
    và lập tổng trực tiếp
    vành: (1) R = Mn1
    (S1
    ) ⊕ Mn2
    (S2
    ) ⊕ . ⊕ Mnk
    (Sk
    ) thì R là vành Artin
    nửa đơn. Ngược lai, nếu S là vành Artin nửa đơn, Artin đã chứng minh
    được rằng S đẳng cấu với vành R có dạng (1). Định lý Wedderburn -Artin cho ta biết thêm rằng, điều kiện (1) tương đương với một trong
    những điều kiện sau đây:
    (2) R là tổng trực tiếp của các iđêan phải tối tiểu;
    (3) R là tổng trực tiếp của các iđêan trái tối tiểu;
    (4) Mọi R-môđun phải là nội xạ;
    (5) Mọi R-môđun trái là nội xạ;
    (6) Mọi R-môđun trái là xạ ảnh;
    (7) Mọi R-môđun phải là xạ ảnh.
    8
    Như vậy, cấu trúc của vành Artin nửa đơn đã được đặc trưng bởi
    những điều kiện bên trong thông qua các iđêan và điều kiện bên ngoài
    thông qua các môđun. Điều này dẫn đến hai hướng nghiên cứu chính
    trong lý thuyết vành.
    Hướng thứ nhất: Nghiên cứu cấu trúc của vành thông qua các điều
    kiện nội tại (các iđêan một phía).
    Hướng thứ hai: Đặc trưng vành bằng các điều kiện bên ngoài (các
    môđun trên chúng).
    Gọi J là tổng các iđêan lũy linh của vành Artin R bất kỳ, khi đó
    vành thương R/J là một vành Artin nửa đơn. Từ đồng cấu tự nhiên
    R → R/J , người ta tìm được nhiều tính chất của R, đặc biệt là cấu trúc
    bên trong của R đã được suy ra từ cấu trúc của R/J . Thí dụ, trong R/J
    mọi iđêan là hạng tử trực tiếp, vậy trong R iđêan nào là hạng tử trực
    tiếp? Đây là ý tưởng chủ yếu của hướng nghiên cứu thứ nhất. Những
    kết quả chính về hướng nghiên cứu này của vành Artin cho đến cuối
    những năm 1980 gồm: Định lý cấu trúc nhóm cộng đối với vành Artin
    của Fuchs- Szele [20], định lý tách đối với vành Artin của Szasz [61],
    định lý cấu trúc vành Artin với căn Jacobson của Kertesz-Widiger [49],
    định lý tách đối với MHR vành của Đinh Văn Huỳnh [41], định lý phân
    tích tổng quát đối với vành Artin hai phía của Đinh Văn Huỳnh [42]
    và nhiều kết quả khác đối với vành compắc tuyến tính, một dạng tổng
    quát hóa vành Artin của Leptin (1955-1957). Các kết quả này chúng ta
    có thể tìm thấy trong các tài liệu [2] và [48].
    Một lớp con rất quan trọng và có nhiều tính chất đẹp đẽ của lớp
    vành Artin đó là lớp vành tựa Frobenius (gọi tắt là QF vành). Lớp vành
    này đã được Nakayama định nghĩa năm 1939 dựa trên đế và lũy đẳng
    nguyên thủy của vành Artin (xem [47]). Đối ngẫu với vành Artin là vành
    Noether, tức là vành thỏa mãn điều kiện tối đại cho các iđêan một phía,
    điều này tương đương với sự hữu hạn sinh của mỗi iđêan phía đó.
    9
    Hướng nghiên cứu thứ hai bắt đầu với những kết quả cơ bản của
    Matlis, Papp, Kushan về đặc trưng vành Artin và Noether qua các điều
    kiện nội xạ cụ thể của môđun trên chúng (xem [15], [47], [50]). Faith
    - Walker đã đặc trưng QF vành bằng sự liên quan của tính nội xạ và
    xạ ảnh: Vành R là QF khi và chỉ khi mọi R- môđun phải (trái) nội xạ
    là xạ ảnh, khi và chỉ khi mọi R-môđun phải (trái) xạ ảnh là nội xạ.
    Các điều kiện này thực sự yếu hơn các điều kiện (4), (5), (6) và (7) đã
    nêu trên. Ngoài ra, nhiều tác giả khác cũng đã tiếp cận nghiên cứu các
    khía cạnh khác nhau của QF vành. Các tác giả này bao gồm: Utumi,
    Osofsky, Harada, Oshiro, Armendariz, Đinh Văn Huỳnh, John Clark,
    N. V. Dung, Wisbauer, Nicholson, Yousif, Đặc biệt, các nghiên cứu
    của Đinh Văn Huỳnh trong những năm 1992-1995 đã làm cho người ta
    chú ý trở lại việc nghiên cứu QF vành. Đó là các kết quả nghiên cứu sử
    dụng các kỹ thuật mới như: đế bậc 2, điều kiện ACC đối với iđêan cốt
    yếu một phía, thay tính nội xạ bởi điều kiện yếu hơn. Trong lý thuyết
    QF vành có nhiều giả thuyết liên quan, tuy nhiên trong phạm vi nghiên
    cứu của mình, chúng tôi dành sự quan tâm đặc biệt cho giả thuyết Faith
    (Faith’s Conjecture):" Vành nửa nguyên sơ và nội xạ một phía là QF "
    (xem [43]). Chúng ta có thể tham khảo thêm các kết quả đã đạt được
    xung quanh giả thiết Faith trong các tài liệu [19], [54], .
    Những nghiên cứu của chúng tôi trong luận án này là sự tiếp tục và
    phát triển hướng nghiên cứu thứ hai.
    7.2. Cấu trúc luận án: Nội dung của luận án được trình bày trong 4
    chương.
    Trong chương 1, chúng tôi trình bày các khái niệm, định nghĩa. Đồng
    thời ở đây chúng tôi cũng liệt kê một số kết quả đã biết để tiện sử dụng
    cho các chứng minh sau này.
    Như chúng ta đã biết, điều kiện CS là một điều kiện nhẹ hơn tính
    nội xạ. Vì vậy, khi thay điều kiện "nội xạ" trong (4) bởi điều kiện "CS"
    10
    chúng ta được một lớp vành rộng hơn lớp vành Artin nửa đơn. Lớp vành
    này được gọi là lớp vành CS-nửa đơn và cấu trúc của chúng đã được mô
    tả trong các công trình của Dung - Smith [12], Vanaja [64]. Nội dung
    của chương 2 giới thiệu các kết quả nghiên cứu đã đạt được về mô tả
    cấu trúc của lớp vành này. Trong Định lý 2.2.3, chúng tôi đã thiết lập
    một đặc trưng mới cho vành CS-nửa đơn thông qua các môđun hữu hạn
    sinh trên chúng.
    Trong chương 3, chúng tôi tập trung nghiên cứu đặc trưng của lớp
    QF vành. Một đặc trưng mới của lớp vành này thông qua tính chất CS
    của lớp vành nửa hoàn chỉnh, vành hoàn chỉnh và vành nguyên sơ đã
    được chúng tôi đưa ra trong Định lý 3.2.1, Định lý 3.2.2, Hệ quả 3.2.4
    và Hệ quả 3.2.5. Như đã nói ở trên, giả thuyết Faith nói rằng vành nửa
    nguyên sơ nội xạ một phía là QF, chúng tôi hy vọng những kết quả của
    chương này có thể giúp làm rõ một khía cạnh nào đấy trong việc chứng
    minh hoặc phản chứng minh giả thuyết này.
    Nội dung chính của chương 4 là các kết quả đặc trưng tính Noether
    của lớp V-vành và lớp các vành đơn. Để giải quyết câu hỏi mở của P. F.
    Smith (1991), Đinh Văn Huỳnh và S. Tariq Rizvi trong [37] đã đưa ra
    điều kiện (℘) của môđun. Trong chương này, chúng tôi giảm nhẹ điều
    kiện (℘) thành (℘
    0
    ) để đặc trưng tính Noether của V- vành (Định lý
    4.2.4). Ngoài ra chúng tôi đặc trưng tính Noether của vành đơn thông
    qua tính chất CS của các môđun xiclic suy biến trong phạm trù σ[M ]
    (Định lý 4.3.3). Từ kết quả của Định lý 4.3.3, chúng ta có điều kiện để
    vành đơn là Noether (Hệ quả 4.3.4), hoặc mạnh hơn là SI (Định lý 4.4.2,
    Hệ quả 4.4.3). Các điều kiện này tương tự như trong các kết quả của
    Đinh Văn Huỳnh, S. K. Jain và S. R. López-Permouth [35] nhưng được
    thiết lập một cách tổng quát hơn nhiều thông qua phạm trù σ(M ).
    Có thể nói rằng, ý tưởng của luận án này được xuất phát từ các điều
    kiện tương đương của định lý Wedderburn - Artin. Các lớp vành mà
    11
    chúng tôi đề cập tới trong chương 2, 3 và 4 đều được khởi nguồn từ lớp
    vành Artin nửa đơn do vậy chúng liên hệ với nhau. Các kết quả đã đạt
    được của mỗi lớp vành đều là sự đặc trưng các điều kiện hữu hạn khác
    nhau thông qua các tính chất khác nhau của một số lớp môđun trên
    chúng.
    12
    CHƯƠNG 1
    KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
    Trong suốt luận án này, nếu không nói gì thêm, vành R luôn được
    hiểu là vành kết hợp, có đơn vị 1 6 = 0 và mọi R-môđun được xét là
    môđun unita phải hoặc trái.
    1.1 Các khái niệm cơ bản
    Trước hết, chúng tôi trình bày các khái niệm, tính chất cơ bản của
    Lý thuyết Vành mà không chứng minh lại. Các khái niệm và tính chất
    này đã được giới thiệu trong nhiều tài liệu khác nhau, chúng tôi chủ yếu
    tham khảo trong các tài liệu [1], [11], [15], [16], [47], [50] và [51].

    TÀI LIỆU THAM KHẢO
    [1] F.W. Anderson and K.R Furler, Ring and Categories of Modules,
    Springer - Verlag, NewYork - Heidelberg - Berlin, 1974.
    [2] E. Artin, Nesbitt, C.J and Thrall, R.M, Rings with minimum con-dition, Univ. Michigan Publ. in Math. No 1, Ann Arbor, 1994.
    [3] E. P. Armendariz, Rings with DCC on essential left ideals. Comm.
    Algebra. 8 (1980), 299-308.
    [4] A. W. Chatters, A characterization of right noetherian rings,
    Quart. J. Math. Oxford, 32(2) (1982), 65-69.
    [5] A.W. Chatters and Hajarnavic, Rings with Chain Condition, Pit-man, Lodon, 1980.
    [6] J. Clark and Dinh Van Huynh, When is a self-injective semiperfect
    ring QF?, J. Algebra, 165 (1994), 531-542.
    [7] J. Clark and Dinh Van Huynh, A study of uniform one-side ideals
    in simple rings, Glasgow Math. J, 49 (2007), 489-495.
    [8] J.H. Cozzens, Homological properties of the ring of differential
    polynomials, Bull. Amer. Math. Soc. 76 (1990), 75-79.
    [9] J.H. Cozzens and C. Faith, Simple Noetherian Rings, Cambridge
    Univ. Press.UK. London, 1975.
    [10] R.F. Damiano, Right PCI ring is right Noetherian, Proc. Amer.
    Math. Soc. 77 (1977), 11-14.
    64
    [11] Nguyen Viet Dung, Dinh Van Huynh, P. F. Smith and R. Wis-bauer, Extending Modules, Pitman, London, 1994.
    [12] Nguyen Viet Dung and Patrick F. Smith, Rings for which certain
    modules are CS, J.Pure Appl. Algebra 102 (1995), 273-287.
    [13] N. Er, Rings whose CS modules are countably
    P
    ưCS, Comm.
    Algebra, 31(11) (2003), 5513-5523.
    [14] Noyan Er, Artinian Rings Characterized by Direct Sum of CS
    modules, Communications in Algebra, Vol.32(2004), No 12, pp.
    4821-4833.
    [15] C. Faith, Algebra II, Ring Theory, Springer Verlag(1976).
    [16] C. Faith, Algebra I, Rings, Modules and Categories, Springer-Verlag, Berlin/New York(1981). Z.,113(1970), 106-112.
    [17] C. Faith, On hereditary rings and Boyle’s conjecture, Arch. Math.
    27 (1976), 113-119.
    [18] C. Faith, When are proper cylics injective?, Pacific J. Math. 45
    (1973), 97-112.
    [19] C. Faith and Dinh Van Huynh, When self-injective ring are QF:
    A report on a problem, J. Algebra Appl. 1 (2002), 75-105.
    [20] L. Fuchs and L. Szele, On Artinian rings, Acta Sci. Math. Szeged,
    17 (1956), 30-40.
    [21] J. L. Go’mez Pardo and P. A. Guil Asensio, Every
    P
    ưCS module
    has an indencomposable decomposition, Proc. Amer. Math. Soc.
    129 (2001), 947-954.
    [22] J. L. Go’mez Pardo and P. A. Guil Asensio, Indencomposable de-compositions of modules whose direct sum are CS, J. Algebra,
    262(1) (2003), 194-200.
    65
    [23] K.R. Goodearl, The Singular Torsion and the Splitting Properties,
    in: Mem. Amer. Math.Soc. Vol.124 (1972)
    [24] K. Hanada, Y. Kuratomi and K. Oshiro, On direct sums of ex-tending modules and internal exchange property, J. Algebre, 250
    (2002), 115-133.
    [25] A. Harmanci and P. F. Smith, Finite dierect sums of CS-modules,
    International Symposium on Ring Theory, Trends Math (2001),
    149-159.
    [26] R. Hart, Simple rings with uniform right ideals, J. London Math.
    Soc. 42 (1976), 614-617.
    [27] Đinh Quang Hai and Dinh Van Huynh, A decomposition theorem
    for (℘

    )ưsemisimple rings, J.Pure Appl. Algebra, 186 (2004), 139
    -149.
    [28] Dinh Van Huynh, Nguyen Viet Dung and Robert Wisbauer, Quasi
    - injective modules with ACC or DCC on essential submodules.
    Arch. Math. Vol.53 (1989), 252-255.
    [29] Dinh Van Huynh, Structure of some noetherian SI rings, J. Alge-bra, 254 (2002), 362 - 374.
    [30] Dinh Van Huynh, Rings with ACC on essential right ideals, Math.
    Japonica, 35 (1990), 707-712.
    [31] Dinh Van Huynh, P. F. Smith and R. Wisbauer, A note on GV-modules with Krull dimention, Glasgow Math. J, 32 (1990), 389-390.
    [32] Dinh Van Huynh and S. T. Rizvi, On some classes of Artinian
    rings, J. Algebra, 223 (2000), 133-153.
    66
    [33] Dinh Van Huynh and S. T. Rizvi, On countably sigma-CS rings,
    Algebra and Its Application, Narosa Publishing House, New Delhi,
    Chennai, Mumbai, Kolkata (2001), 119-28.
    [34] Dinh Van Huynh, S. K. Jain and S. R. Lo’pez-Permouth, Ring
    characterized by direct sums of CS modules, Comm. Algebra, 28
    (2000), 4219-4222.
    [35] Dinh Van Huynh, S.K. Jain and S.R. Lo’pez-Permouth, When is a
    simple ring Noetherian ?, Journal of Algebra, 184 (1996), 786-794.
    [36] Dinh Van Huynh, S.K.Jain, and S.R.Lo’pez-Permouth, When xi-clic singular modules over a simple ring are injective, Journal of
    Algebra, 263 (2003), 188-192.
    [37] Dinh Van Huynh and S. T. Rizvi, An affirmative answer to a
    question on noetherian rings, J. Algebra and Appl. 7 (2008), 47-59.
    [38] Dinh Van Huynh, S. T. Rizvi, and M. F. Yousif, Rings whose
    finitely generated modules are extending, J. Pure Apl. Algebra
    111 (1996), 325-328.
    [39] Dinh Van Huynh, Hong Kee Kim and Jae Keol Park, Some results
    on SI-Rings, J.Algebra, 174 (1995), 39-52.
    [40] Dinh Van Huynh and Tung Ngo Si, A note on quasi-Frobenius
    rings, Proc. Amer. Math. Soc, 124 (1996), No.2, 371-375.
    [41] Dinh Van Huynh, Die Spaltbarkeit von MHR-Ringe, Bull. Acad.
    Polon. Sci, 25 (1977), 939-941.
    [42] Dinh Van Huynh,
    ¨
    Uber Artinsche Ringe, Math. Nachr, 16 (1978),
    187-194.

    Xem Thêm: Đặc trưng một số lớp vành Artin và Noether
    Nội dung trên chỉ thể hiện một phần hoặc nhiều phần trích dẫn. Để có thể xem đầy đủ, chi tiết và đúng định dạng tài liệu, bạn vui lòng tải tài liệu. Hy vọng tài liệu Đặc trưng một số lớp vành Artin và Noether sẽ giúp ích cho bạn.
    #1
  7. Đang tải dữ liệu...

    Chia sẻ link hay nhận ngay tiền thưởng
    Vui lòng Tải xuống để xem tài liệu đầy đủ.

    Gửi bình luận

    ♥ Tải tài liệu

social Thư Viện Tài Liệu
Tài liệu mới

Từ khóa được tìm kiếm

Nobody landed on this page from a search engine, yet!

Quyền viết bài

  • Bạn Không thể gửi Chủ đề mới
  • Bạn Không thể Gửi trả lời
  • Bạn Không thể Gửi file đính kèm
  • Bạn Không thể Sửa bài viết của mình
  •  
DMCA.com Protection Status