Tìm kiếm
Đang tải khung tìm kiếm
Kết quả 1 đến 1 của 1

    THẠC SĨ Chuẩn Monge - Ampere đối với hàm Delta đa điều hòa dưới

    D
    dream dream Đang Ngoại tuyến (18524 tài liệu)
    .:: Cộng Tác Viên ::.
  1. Gửi tài liệu
  2. Bình luận
  3. Chia sẻ
  4. Thông tin
  5. Công cụ
  6. Chuẩn Monge - Ampere đối với hàm Delta đa điều hòa dưới

    Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/

    ii
    LỜI CẢM ƠN
    Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
    Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân
    dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh
    nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
    Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán,
    các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán
    học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận
    lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
    Xin chân thành cảm ơn Trường Cao đẳng sư phạm Saravan-CHDCND
    Lào cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá
    trình học tập và hoàn thành bản luận văn này.
    Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất
    mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên
    để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
    Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong
    thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
    Tháng 6 năm 2015
    Tác giả


    Bounthoung SALILACK
    Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/

    iii
    MỤC LỤC

    LỜI CAM ĐOAN . i
    LỜI CẢM ƠN ii
    MỤC LỤC iii
    MỞ ĐẦU . 1
    1. Lý do chọn đề tài . 1
    2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 1
    3. Phương pháp nghiên cứu . 2
    4. Bố cục của luận văn . 2
    Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3
    1.1. Dạng vi phân và dòng trong lý thuyết đa thế vị . 3
    1.2. Hàm điều hòa dưới . 7
    1.3. Hàm đa điều hoà dưới . 9
    1.4. Toán tử Monge- Ampère phức . 11
    1.5. Các lớp Cegrell trong £ n
    23
    Chương 2. CHUẨN MONGE-AMPERE ĐỐI VỚI HÀM d - ĐA ĐIỀU
    HOÀ DƯỚI . 25
    2.1. Định nghĩa chuẩn 25
    2.2. Tô pô của dF 29
    2.3. Không gian đối ngẫu 31
    2.4. So sánh với các hàm d - điều hoà dưới 36
    KẾT LUẬN . 41
    TÀI LIỆU THAM KHẢO . 42 1

    Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/

    MỞ ĐẦU
    1. Lý do chọn đề tài
    Lớp các hàm d - đa điều hoà dưới và toán tử Monge-Ampere từ lâu đã
    được nghiên cứu bởi Arsove (năm 1953), tiếp theo bởi Kiselman (năm 1977),
    Cegrell (năm 1977). Đó là lớp các hàm có thể biểu diễn dưới dạng hiệu của hai
    hàm đa điều hoà dưới. Ký hiệu lớp này là ( ) PSH d W . Cegrell (năm 1978) [5] đã
    chỉ ra rằng trên miền giả lồi W mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
    ( ) PSH d W được mang bởi tập compact đa cực đều có thể viết được dưới dạng
    hiệu của hai phiếm hàm dương. Gần đây Cegrell đã xét hiệu của các hàm đa
    điều hoà dưới trong lớp năng lượng F . Giả sử W là miền siêu lồi trong n £ ,
    khi đó ( ) = W F= F là một nón lồi trong không gian tuyến tính 1
    ( )
    loc
    L W . Ký hiệu
    ( ) d d = W F F là tập hợp tất cả các hàm 1
    ( )
    loc
    u L Î W có thể viết được dưới
    dạng
    1 2
    u u u = - , ở đó
    1
    ( ) u Î W F . Khi đó ( ) d W F làm thành không gian
    tuyến tính và có thể trang bị cho không gian này một chuẩn phụ thuộc vào toán
    tử Monge-Ampere tổng quát để nó trở thành không gian Banach dF . Theo
    hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn đề tài: "Chuẩn Monge-Ampere đối với
    hàm delta- đa điều hòa dưới".
    2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
    2.1. Mục đích nghiên cứu
    Mục đích của luận văn là trình bày các kết quả gần đây của U. Cegrell
    và J.Wiklund. Xét các hiệu của các hàm đa điều hòa dưới trong lớp năng lượng
    F như là không gian tuyến tính và trang bị cho không gian này một chuẩn phụ
    thuộc vào toán tử Monge-Ampere phức tổng quát, biến không gian tuyến tính
    thành không gian Banach dF . Trình bày một số vấn đề tôpô cơ bản đối với 2

    Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/

    không gian này và chứng minh dF không là không gian tách. Đồng thời
    nghiên cứu không gian đối ngẫu của nó.
    2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
    Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:
    - Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về Dạng vi phân và dòng
    trong lý thuyết đa thế vị, các tính chất của hàm điều hoà dưới, hàm đa điều hoà
    dưới, toán tử Monge-Ampère, giới thiệu về các lớp Cegrell trong £ n
    .
    - Trình bày các kết quả gần đây của U. Cegrell và J.Wiklund về chuẩn
    Monge-Ampere đối với các hàm d - đa điều hoà dưới và toán tử Monge-
    Ampere.
    3. Phương pháp nghiên cứu
    Sử dụng phương pháp của giải tích phức kết hợp với các phương pháp
    của giải tích hàm hiện đại, các phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức.
    4. Bố cục của luận văn
    Nội dung luận văn gồm 40 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương
    nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
    Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về Dạng vi phân
    và dòng trong lý thuyết đa thế vị, các tính chất của hàm điều hoà dưới, hàm đa
    điều hoà dưới, toán tử Monge-Ampère, giới thiệu về các lớp Cegrell trong £ n
    .
    Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày một số kết quả về
    chuẩn Monge-Ampere đối với các hàm d - đa điều hoà dưới. Phần đầu của
    chương trình bày việc trang bị một chuẩn cho dF để nó trở thành không gian
    Banach, và nghiên cứu một số tính chất tô pô của dF . Tiếp theo là nghiên cứu
    không gian đối ngẫu ( ) d ¢ F của dF . Phần cuối cùng của chương trình bày các
    nghiên cứu so sánh với các hàm d - điều hoà dưới trên các miền trong n  . 3

    Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/

    Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.

    Chương 1
    CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
    1.1. Dạng vi phân và dòng trong lý thuyết đa thế vị
    Giả sử n ¡ là không gian vector n chiều với cơ sở chính tắc
    (0, ., 0,1, 0, ., 0)
    j
    e = , ở đó 1 ở vị trí thứ j . Giả sử với mỗi 1 j n £ £ kí hiệu
    j
    u là hàm tọa độ thứ j : ( )
    j j
    u x x = . Một ánh xạ : .
    n n
    p
    f ´ ´ ® ¡ ¡ £
    1444442 444443
    gọi
    là p - tuyến tính nếu nó là tuyến tính theo từng biến khi các biến khác cố định.
    Một ánh xạ p - tuyến tính sao cho
    1
    ( , ., ) 0
    p
    f v v = khi
    1
    ,1
    j j
    v v j n
    +
    = £ <
    gọi là ánh xạ p - tuyến tính thay dấu. Tập các ánh xạ p - tuyến tính thay dấu
    từ .
    n n
    p
    ´ ´ ¡ ¡
    1444442 444443
    tới £ kí hiệu ( , )
    n p Ù ¡ £ .
    Định nghĩa 1.1.1. Giả sử n WÐ ¡ là tập mở. Một p - dạng vi phân trên W là
    ánh xạ :U a ® ( , )
    n p Ù ¡ £ .
    Nếu đặt ( ) ,1 ,
    k k
    dx x u k n x = £ £ Î W thì ta có thể viết mỗi p - dạng vi phân
    a trên W dưới dạng:
    ( ) ' ( )
    I I
    I
    x x dx a a = å
    ở đó
    1
    1 1
    ( , ., ),1 . , . , ( )
    p
    p p I i i I
    I i i i i n dx dx dx x a = £ < < £ = Ù Ù là các
    hàm trên W. 4

    Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/

    Giả sử '
    I I
    I
    dx a a = å là p - dạng và ' ( )
    J J
    J
    x dx b b = å là q - dạng, ở đó
    1
    1 .
    p
    i i n £ < < £ và
    1
    1 .
    q
    j j n £ < < £ khi đó tích ngoài a b Ù là
    ( ) p q + - dạng cho bởi công thức
    L L
    L
    dx a b g Ù = å , ở đó 0
    L L
    dx g = nếu
    k l
    i j = với 1 ,1 k p l q £ £ £ £ và
    1
    ( 1) .
    p q
    L L I J l l
    dx dx dx
    s
    g a b
    +
    = - Ù Ù ,
    1
    1 .
    p q
    l l n
    +
    £ < < £ với s là hoán vị của dãy
    1 2
    .
    p
    i i i < < < và
    1 2
    .
    q
    j j j < < < trong tập hợp { } 1, .,n để tạo thành dãy tăng
    1
    1 .
    p q
    l l n
    +
    £ < < £ .
    Nếu f là một hàm thì f f a a Ù = và ( ) ( ) f f a b a b Ù = Ù .
    Mọi p - dạng a với p n > đều bằng 0. Các dạng có bậc cực đại là các dạng
    bậc n . Cho a là p - dạng lớp 1
    C . Vi phân ngoài (đạo hàm ngoài) của a là
    ( 1) p + - dạng cho bởi:
    '
    I I
    I
    d d dx a a = Ù å
    Nếu 0 da = ta nói a là dạng đóng. Mọi dạng có bậc cực đại là đóng.
    Giả sử 1
    1
    . , ( )
    n
    dx dx L a j j = Ù Ù Î W . Khi đó

    1
    .
    n
    dx dx dV a j j
    W W W
    = Ù Ù = ò ò ò ,
    dV là độ đo Lebesgue trên W.
    Định nghĩa 1.1.2. Một dòng bậc p hay có chiều ( ) n p - trên tập mở n WÐ ¡
    là dạng tuyến tính liên tục ( )
    : ( )
    n p
    T
    - W ® D £ . Nếu a là dạng trong
    ( )
    ( )
    n p -
    W D , giá trị của T tại a , kí hiệu bởi ( ) T a hay , T a . 5

    Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/

    Bây giờ giả sử , 0,1, ., p q n = . Ta kí hiệu
    ( , ) p q
    £ là tập các dạng phức song
    bậc ( , ) p q hệ số hằng trên n £ . Khi đó nếu
    ( , ) p q
    w Î £ thì w có thể biểu diễn:
    ,
    '
    JK J K
    J p K q
    w w dz dz
    = =
    = Ù å
    ở đó
    1 1
    , . , .
    p q
    JK J j j K k k
    w dz dz dz dz dz dz Î = Ù Ù = Ù Ù £ tổng lấy theo các
    bộ đa chỉ số
    1 1
    ( , ., ), ( , ., )
    p q
    J j j K k k = = với
    1
    1 .
    p
    j j n £ < < £ ,
    1
    1 .
    q
    k k n £ < < £ .
    Dạng Ka&&hler chính tắc trên n £ cho bởi:
    2
    1 2 2
    n
    j j
    j
    i i
    z dz dz b
    =
    = ¶¶ = Ù å
    Khi đó dạng thể tích trên 2 n n
    @ £ ¡ cho bởi:
    1 1 2 2
    1 1
    . .
    ! ! 2 2 2
    n
    n n
    n
    i i i
    dV dz dz dz dz dz dz
    n n
    b b b = = Ù Ù = Ù Ù Ù Ù Ù Ù
    14442 4443


    1 1
    ( ) .
    2
    n
    n n
    i
    dz dz dz dz = Ù Ù Ù Ù
    Nếu
    ( , ) p p
    w Î £ có thể biểu diễn
    1 1 2 2
    .
    2 2 2
    p p
    i i i
    w w w w w w w = Ù Ù Ù Ù Ù Ù
    với
    (1,0) j
    w Î £ thì w gọi là dạng dương sơ cấp.
    Mệnh đề 1.1.3. Không gian các dạng song bậc ( , ) p p được sinh ra bởi các
    dạng dương sơ cấp. 6

    Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/

    Chứng minh. Giả sử
    ( , ) p p
    w Î £ . Khi đó có thể viết:

    1 1
    ,
    ,
    ( ) .
    2 p p
    p
    J K j k j k
    J p K p
    i
    w w dz dz dz dz
    = =
    = Ù Ù Ù Ù å
    Vậy chỉ cần biểu diễn
    j k
    dz dz Ù là tổ hợp tuyến tính của các dạng dương sơ
    cấp. Thật vậy,

    4
    1
    1
    ( ) ( )
    4
    s s s
    j k j k j k
    s
    dz dz i dz i dz dz i dz
    =
    Ù = + Ù + å . 
    Giả sử n WÐ £ là tập mở. Tập các dạng vi phân song bậc ( , ) p q với hệ số
    thuộc
    0
    ( , ) C
    ¥
    W£ (tương ứng
    0
    ( , ) C W£ ) được kí hiệu ( , )
    ( )
    p q
    W D (tương ứng
    ( , )
    0
    ( )
    p q
    W D ).
    Định nghĩa 1.1.4. Mỗi phần tử ( , )
    ( ( ))
    n p n p
    T
    - - ¢ Î W D gọi là một dòng song bậc
    ( , ) p q hay ( , ) p q - dòng (tương ứng song chiều ( , ) n p n q - - ). Những phần tử
    của ( , )
    0
    ( ( ))
    n p n q - - ¢ W D gọi là dòng cấp 0, song bậc ( , ) p q (hay ( , ) p q - dòng cấp 0).
    Định nghĩa 1.1.5. Giả sử T là ( , ) p p - dòng trên tập mở n WÐ £ . T được gọi
    là dương nếu với mỗi dạng sơ cấp

    1 1 2 2 ( , )
    .
    2 2 2
    n p n p n p n p
    i i i
    C a a a a a a a
    - - - -
    = Ù Ù Ù Ù Ù Ù Î
    ta có T aÙ là phân bố dương, nghĩa là một độ đo Borel trên W.
    Định lí 1.1.6. Mọi dòng dương có cấp 0, nghĩa là có hệ số là các độ đo Borel phức. 7

    Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/

    Mệnh đề 1.1.7. Giả sử
    ,
    , 2
    j k j k
    j k
    i
    T T dz dz = Ù å là (1,1) - dòng. Khi đó T là
    (1,1) - dòng dương nếu ( ), 0 j j " Î W ³ D và mọi
    1
    ( , ., )
    n
    n
    b b b = Î £ ta có:

    ,
    ,
    ( ) 0
    j k j k
    j k
    T b b j ³ å .
    Chứng minh. Giả sử
    ,
    ( ), 0, ( ) 0
    j k j k
    T b b j j j Î W ³ ³ å D .
    Với
    ,
    0,
    2
    j k j k
    i
    T T dz dz
    e e
    e c c > * = * Ù å là (1,1) - dạng trơn và
    0
    limT T
    e
    e
    c
    ®
    * = theo nghĩa dòng. Để chứng minh T dương, cần chứng minh
    với ( ), 0 j j Î W ³ D và
    1 1 (1,0)
    , .,
    n
    a a
    -
    Î £ thì

    1
    1 1 1 1
    , ( ) . 0
    2
    n
    n n
    i
    T j a a a a
    -
    - -
    Ù Ù Ù ³ .
    Nhưng

    1
    1 1 1 1
    , ( ) .
    2
    n
    n n
    i
    T j a a a a
    -
    - -
    Ù Ù Ù

    1
    1 1 1 1
    0
    lim , ( ) .
    2
    n
    n n
    i
    T
    e
    e
    c j a a a a
    -
    - - ®
    = * Ù Ù Ù Ù

    ,
    , 1
    ( ) 0
    n
    j k j k
    j k
    T M M j
    =
    = ³ å .
    Vậy T là dòng dương.
    1.2. Hàm điều hòa dưới
    Định nghĩa 1.2.1. Giả sử X là không gian tôpô. Hàm ) : , u X
    é ® - ¥ + ¥
    êë
    gọi
    là nửa liên tục trên trên X nếu với mỗi a Î ¡ tập

    Xem Thêm: Chuẩn Monge - Ampere đối với hàm Delta đa điều hòa dưới
    Nội dung trên chỉ thể hiện một phần hoặc nhiều phần trích dẫn. Để có thể xem đầy đủ, chi tiết và đúng định dạng tài liệu, bạn vui lòng tải tài liệu. Hy vọng tài liệu Chuẩn Monge - Ampere đối với hàm Delta đa điều hòa dưới sẽ giúp ích cho bạn.
    #1
  7. Đang tải dữ liệu...

    Chia sẻ link hay nhận ngay tiền thưởng
    Vui lòng Tải xuống để xem tài liệu đầy đủ.

    Gửi bình luận

    ♥ Tải tài liệu

social Thư Viện Tài Liệu
Tài liệu mới

Từ khóa được tìm kiếm

Nobody landed on this page from a search engine, yet!

Quyền viết bài

  • Bạn Không thể gửi Chủ đề mới
  • Bạn Không thể Gửi trả lời
  • Bạn Không thể Gửi file đính kèm
  • Bạn Không thể Sửa bài viết của mình
  •  
DMCA.com Protection Status