Tìm kiếm
Đang tải khung tìm kiếm
Kết quả 1 đến 1 của 1

    THẠC SĨ Nghiệm giải tích và nghiệm xấp xỉ của một bài toán biên đối với phương trình song điều hòa

    D
    dream dream Đang Ngoại tuyến (18524 tài liệu)
    .:: Cộng Tác Viên ::.
  1. Gửi tài liệu
  2. Bình luận
  3. Chia sẻ
  4. Thông tin
  5. Công cụ
  6. Nghiệm giải tích và nghiệm xấp xỉ của một bài toán biên đối với phương trình song điều hòa

    Mở đầu
    Trên thực tế nhiều bài toán trong khoa học kỹ thuật thông qua mô
    hình hóa tóan học được đưa đến việc giải các bài toán biên đối với phương
    trình đạo hàm riêng.Phương trình đạo hàm riêng cấp cao mà tiêu biểu là
    phương trình song điều hòa là lớp phương trình vẫn còn đang thu hút sự
    quan tâm rất lớn của rất nhiều nhà cơ học, kỹ sư và nhà toán học. Trong
    vòng 3 thập niên qua nhiều phương pháp mới hữu hiệu giải phương trình
    trên đã được nghiên cứu và phát triển. Cùng với sự phát triển mạnh mẽ
    của máy tính điện tử, các phương pháp số đã trở thành công cụ đắc lực
    để giải quyết các bài toán kỹ thuật tuy nhiên vẫn có không ít tác giả đã
    sử dụng phương pháp gần đúng giải tích như phương pháp bình phương
    cực tiểu, phương pháp nghiệm cơ bản để giải lớp phương trình song điều
    hòa.Ngoài những phương pháp trên một số tác giả còn sử dụng phương
    pháp lặp để giải phương trình song điều hòa và phương pháp này cũng là
    phương pháp đáng lưu ý và cần nghiên cứu.
    Nội dung chính của luận văn là trình bày các kết quả về lý thuyết và
    thực nghiệm tính toán của phương pháp tìm nghiệm cho một số bài toán
    biên đối với phương trình song điều hòa nhờ công cụ hỗ trợ là toán tử biên
    và sơ đồ lặp hai lớp của Samarski – Nikolaev.
    Luận văn bao gồm phần mở đầu, 3 chương nội dung,phần kết luận và
    tài liệu tham khảo.
    Chương 1: Trình bày hệ thống các kiến thức chuẩn bị, các kết quả bổ
    trợ: một số kiến thức cơ bản về không gian Sobolev, tổng quan ngắn về
    bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng cấp hai và cấp bốn, định
    tính của bài toán biên đối với phương trình elliptic cấp hai và phương trình
    kiểu song điều hòa, phương pháp lặp hai lớp giải phương trình toán tử, sự
    hội tụ của sơ đồ lặp, thuật toán thu gọn khối lượng tính toán giải số bài
    toán biên của phương trình elliptic cấp hai trên miền hình chữ nhật.
    2Chương 2: Trình bày một phương pháp tìm nghiệm giải tích giải bài
    toán biên đối với phương trình song điều hòa gồm đề xuất phương pháp
    và các kết quả nghiên cứu khi áp dụng phương pháp cho mô hình toán của
    một bài toán Vật lý: mô tả sự uốn của bản mỏng với biên bị ngàm đàn
    hồi.
    Chương 3: Trình bày tóm tắt những kết quả nghiên cứu về việc giải lặp
    tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán biên đối với phương trình song điều hòa
    nhờ việc sủ dụng sơ đồ lặp hai lớp của Samarski – Nikolaev. Một số thực
    nghiệm trên máy tính điện tử.
    Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa hoc – Đại học Thái
    Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Lê Tùng Sơn – Đại học Sư
    phạm – Đại học Thái Nguyên. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và
    sâu sắc về sự tận tâm và sự nhiệt tình của thầy trong suốt quá trình tôi
    thực hiện luận văn.
    Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán-
    Tin trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên và quý thầy cô tham
    gia giảng dạy lớp cao học Toán khóa 6 (2012-2014) đã quan tâm giúp đỡ
    và mang đến cho tôi nhiều kiến thức bổ ích trong suốt thời gian học tập
    tại trường.
    Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu trường Cao đẳng công nghệ
    và kinh tế công nghiệp, các đồng nghiệp trường Cao đẳng công nghệ và
    kinh tế công nghiệp đã tạo điều kiện cho tôi được học tập và hoàn thành
    khóa học này.
    Do thời gian có hạn nên luận văn mới chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu, tập
    hợp tài liệu, sắp xếp và trình bày các kết quả nghiên cứu đã có theo chủ
    đề đặt ra. Trong quá trình viết luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi
    sai sót rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc để luận
    văn hoàn thiện hơn.
    Xin trân trọng cảm ơn!
    Thái Nguyên, ngày 11 tháng 10 năm 2014.
    Người thực hiện
    Trần Thị Hải
    3Chương 1
    Các kiến thức chuẩn bị
    Các kiến thức trình bày trong chương này để sử dụng trong các chương
    sau được tham khảo từ các tài liệu [2], [3], [4], [8], [14], [16].
    1.1 Không gian Sobolev
    1.1.1 Không gian W 1,p
    Định nghĩa 1.1. Cho Ω là một miền giới nội trong R n , p ∈ R, 1 ≤ p ≤
    +∞, ta định nghĩa
    L
    p
    (Ω) =



    f : Ω → R|f;
    Z
    Ω
    |f(x)|
    p
    dx < +∞



    .
    L

    (Ω) = {f : Ω → R|f; ∃C ∈ R

    +
    : |f(x)| < C, ∀x ∈ Ω} .
    L
    p
    loc
    (Ω) =  f : Ω → R|f ∈ L
    p
    (U), ∀U : U ⊂ Ω .
    Định lý 1.2. Cho p ∈ R, 1 ≤ p ≤ +∞, L p (Ω) là một không gian Banach
    với chuẩn
    kfk
    L p (Ω)
    =





    
    R
    Ω
    |f(x)|
    p
    dx
    
    1
    p
    , p < +∞
    inf{C, |f(x)| ≤ C, x ∈ Ω}, p = +∞
    Với p = 2, L 2 (Ω) là một không gian Hilbert với tích vô hướng
    (f, g) =
    Z
    Ω
    f(x)g(x)dx
    .
    4Định lý 1.3. Không gian L 2 (Ω) là tách được với 1 ≤ p < +∞, lồi đều
    với 1 < p < +∞.
    Bất đẳng thức Holder Cho 1 ≤ p ≤ +∞, p
    0
    là số liên hợp của số p,
    nghĩa là
    1
    p0
    = 1 ư
    1
    p
    , 1 < p < +∞,
    p
    0
    = 1, p
    0
    = +∞,
    p
    0
    = +∞, p = 1.
    Khi đó
    R
    Ω
    |f(x)g(x)| dx ≤ kfk
    L p (Ω)
    .kgk
    L p
    0
    (Ω)
    , ∀f ∈ L p (Ω), g ∈ L p
    0
    (Ω).
    Với p = 2 ta có bất đẳng thức Cauchy-Schwartz.
    Hệ quả 1.1. Với 1 ≤ p ≤ q ≤ +∞ thì L q (Ω) ⊂ L p (Ω) và kfk
    L p (Ω)

    Ckfk
    L q (Ω)
    , trong đó hằng số C phụ thuộc vào p, q.
    Định lý 1.4. Cho 1 ≤ p ≤ +∞ và p
    0
    là số liên hợp với p, f ∈ [L p (Ω)]

    ,
    khi đó tồn tại duy nhất g ∈ L p
    0
    (Ω) sao cho
    (f, ϕ)
    [L p (Ω)]

    ,L p (Ω)
    =
    Z
    Ω
    g(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ L
    p
    (Ω),
    hơn nữa kgk
    L p
    0
    (Ω)
    = kfk
    [L p (Ω)]
    ∗ .
    1.1.2 Đạo hàm suy rộng và không gian W m,p (Ω)
    Cho Ω là một miền giới nội trong R n
    , (n = 1, 2, .), kí hiệu
    D
    α
    =
    ∂ α 1 +α 2 + .+α n
    ∂x
    α 1
    1
    ∂x
    α 2
    2
    .∂x
    α n
    n
    , α = (α 1 , α 2 , ., α n )
    là đa chỉ số với các thành phần α i là các số nguyên không âm, |α| =
    α 1 + α 2 + . + α n , p ≥ 1, f ∈ L p (U) với mọi tập con mở U ⊂ Ω, U ⊂ Ω
    và C

    0
    (Ω) là tập các hàm f khả vi vô hạn lần trên Ω sao cho suppf ⊂ Ω,
    trong đó suppf là giá trị của hàm f.
    Cho u, ω ∈ L 1
    loc
    (Ω) thì ω được gọi là đạo hàm suy rộng của u bậc α
    nếu
    Z
    Ω
    uD
    α
    ϕdx = (ư1)
    |α|
    Z
    Ω
    ωϕdx, ϕ ∈ C

    (Ω).
    Kí hiệu ω = D α u.
    5Định nghĩa 1.5. Không gian Sobolev W m,p (Ω), trong đó m là một số
    nguyên dương, được xác định bởi
    W
    m,p
    (Ω) = {u| u ∈ L
    p
    (Ω), D
    α
    u ∈ L
    p
    (Ω), ∀α, |α| ≤ m} ,
    với m = 0, đặt W 0,p (Ω) = L p (Ω), với p = 2, kí hiệu W m,2 (Ω) = H m (Ω).
    Định lý 1.6. Không gian W m,p (Ω) là không gian Banach tương ứng với
    chuẩn
    kfk
    W m,p (Ω)
    =


    X
    |α|≤m
    kD
    α
    fk
    p
    L p (Ω)


    1
    p
    , 1 ≤ p < +∞.
    Không gian H m (Ω) là một không gian Hilbert với tích vô hướng
    (f, g)
    H m (Ω)
    =
    X
    |α|≤m
    (D
    α
    f, D
    α
    g)
    L 2 (Ω)
    , ∀f, g ∈ H
    m
    (Ω).
    Định lý 1.7. Định lý Nhúng (The Sobolev imbedding Theorem). Cho Ω
    là một miền giới nội trong R n
    có biên khả vi lớp C 1
    . Khi đó
    a) Nếu n ≥ 3 thì H 1 (Ω) ⊂ L q (Ω), q ∈
    h
    1,
    2n
    nư2
    i
    ,
    b) Nếu n = 2 thì H 1 (Ω) ⊂ L q (Ω), q ≥ 1,
    c) H m (Ω) ⊂ C
    [mư n
    2
    ưε]
    (Ω), ε > 0,
    trong đó các toán tử nhúng trong a), b), c) là compact.
    Hệ quả 2.1. Với m 1 > m > 0, ta có
    H
    m 1 (Ω) ⊂ H
    m
    (Ω) ⊂ L
    2
    (Ω) = H
    0
    (Ω).
    Định lý 1.8. Định lý về tính trù mật. Cho 1 ≤ p < +∞, D (R n ) là tập
    các hàm có giá compact trong R n
    khi đó D (R n ) trù mật trong W 1,p (R n ),
    hơn nữa nếu ∂Ω là liên tục Lipschitz thì D(Ω) trù mật trong W 1,p (Ω).
    Định lý 1.9. Định lý về sự thác triển. Giả sử ∂Ω là liên tục Lipschitz,
    khi đó tồn tại một toán tử thác triển tuyến tính liên tục P từ H 1 (Ω) vào
    H 1 (R n ) thỏa mãn
    i) P u = u trên Ω,
    ii) kP u k
    L 2 (R n )
    ≤ Ckuk
    L 2 (Ω)
    iii) kP u k
    H 1 (R n )
    ≤ Ckuk
    H 1 (Ω)
    61.1.3 Không gian H s (Ω), s ∈ R
    Trong mục này, ta đưa định nghĩa các không gian H s (Ω) với s không
    nguyên. Xét không gian
    S(R
    n
    ) =  u ∈ C

    (R
    n
    )| ∀α, β > 0,

    x
    α
    D
    β
    u

    ≤ C α,β
    ,
    trong đó x = (x 1 , x 2 , ., x n ) ∈ R n
    , x α = x
    α 1
    1
    x
    α 2
    2
    .x α n
    n
    . Trong S(R n ) xét
    chuẩn sau
    kuk
    2
    S(R n )
    =
    Z
    R n
    (1 + |ξ|
    2
    )
    s |
    b
    u(ξ)|
    2
    dξ, (1.1)
    b
    u là biến đổi Fourier của u tại điểm ξ,
    b
    u(ξ) = (2π)
    ư n
    2
    Z
    R n
    e
    ưi(x,ξ)
    u(x)dx.
    Định nghĩa 1.10. Không gian Sobolev H s (R n ) với s ∈ R được xác định
    bởi
    H
    s
    (R
    n
    ) = S(R n ),
    trong đó bao đóng được lấy theo chuẩn (1.1).
    Định nghĩa 1.11. Không gian Sobolev H s
    0
    (Ω), trong đó Ω là một miền
    giới nội nào đó trong R n
    được xác định bởi
    H
    s
    0
    (Ω) = C

    0
    (Ω),
    trong đó C

    0
    (Ω) là tập các hàm khả vi vô hạn lần có giá compact trên Ω
    và bao đóng được lấy theo chuẩn (1.1).
    Định nghĩa 1.12. Không gian Sobolev H s (Ω) với s không nguyên được
    xác định bởi
    H
    s
    (Ω) = {uk ∃
    e
    u ∈ H
    s
    (R
    n
    ),
    e
    u|
    Ω
    = u, (
    e
    u, ϕ) = (u, ϕ), ∀ϕ ∈ C

    0
    (Ω)} ,
    trong đó
    kuk
    H s (Ω)
    = inf
    e
    u|
    Ω
    =u
    k
    e
    uk
    H s (R n )
    .
    71.1.4 Vết của hàm trên biên
    Định lý 1.13. Định lý vết. Giả sử Ω là một miền mở trong R n
    có biên
    ∂Ω là liên tục Lipschitz, khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính
    liên tục
    λ : H
    1
    (Ω) → L
    2
    (∂Ω)
    sao cho với bất kỳ u ∈ H 1 (Ω) ∩ C 0 (Ω) ta có γ(u) = u|
    ∂Ω
    .
    Hàm γ(u) được gọi là Vết của u trên ∂Ω.
    Định lý 1.14. Giả sử ∂Ω là liên tục Lipschitz, khi đó
    i) H
    1
    2 (∂Ω) là một không gian Banach với chuẩn
    kuk
    2
    H
    1
    2 (∂Ω)
    =
    Z
    ∂Ω
    |u(x)|
    2
    ds x +
    Z
    ∂Ω
    Z
    ∂Ω
    |u(x) ư u(y)|
    2
    |x ư y|
    ds x ds y .
    ii) Tồn tại một hằng số C γ (Ω) được gọi là hằng số của Vết.
    iii) Nhúng H
    1
    2 (∂Ω) ⊂ L 2 (∂Ω) là compact
    iv) Tập {u|
    ∂Ω
    , u ∈ C

    (R n )} trù mật trong H
    1
    2 (∂Ω).
    v) Tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục
    g ∈ H
    1
    2 (∂Ω) → u g ∈ H
    1
    (Ω),
    với γ(u g ) = g và tồn tại hằng số C 1 (Ω) chỉ phụ thuộc vào miền Ω sao cho
    ku g k
    H 1 (Ω)
    ≤ C 1 (Ω)kgk
    H
    1
    2 (∂Ω)
    , ∀g ∈ H
    1
    2 (∂Ω).
    Công thức Green. Giả sử ∂Ω liên tục Lipschitz, cho u, v ∈ H 1 (Ω),
    khi đó:
    Z
    Ω
    u
    ∂v
    ∂x i
    dx = ư
    Z
    Ω
    v
    ∂u
    ∂x i
    dx +
    Z
    ∂Ω
    γ(u)γ(v)n i ds,
    với 1 ≤ i ≤ N, trong đó n = (n 1 , n 2 , ., n N ) là véctơ pháp tuyến ngoài
    của Ω.
    Bất đẳng thức Poincare. Tồn tại một hằng số C Ω sao cho
    kuk
    L 2 (Ω)
    ≤ C(Ω)k∇uk
    L 2 (Ω)
    , ∀u ∈ H
    1
    0
    (Ω)
    trong đó , ∇u =
    
    ∂u
    ∂x 1
    ,
    ∂u
    ∂x 2
    , .,
    ∂u
    ∂x n
    
    , C Ω là hằng số phụ thuộc vào đường
    kính của Ω, được gọi là hằng số Poincare và
    H
    1
    0
    (Ω) = {u|u ∈ H
    1
    (Ω), γ(u) = 0},
    8Bất đẳng thức Poincare có nghĩa: kuk = k∇uk
    L 2 (Ω)
    là một chuẩn trên
    H 1
    0
    (Ω) tương đương với chuẩn của H 1 (Ω) đã được xác định.
    1.1.5 Không gian H
    ư1 (Ω) và H
    ư 1
    2 (∂Ω)
    Định nghĩa 1.15. Ta kí hiệu H
    ư1 (Ω) là một không gian Banach được xác
    định bởi H
    ư1 (Ω) = H 1
    0
    (Ω) 
    0
    với chuẩn
    kFk
    Hư1 (Ω)
    = sup
    H 1
    0
    (Ω)\{0}



    hF, ui
    Hư1 (Ω),H 1
    0
    (Ω)



    kuk
    H 1
    0
    (Ω)
    .
    Định lý 1.16. Cho F ∈ H
    ư1 (Ω) thì tồn tại (n+1) hàm f 0 , f 1 , ., f n trong
    L 2 (Ω) sao cho
    F = f 0 +
    n
    X
    i=1
    ∂f ∂i
    ∂x i
    theo nghĩa phân phối và đồng thời
    kFk
    2
    Hư1 (Ω)
    = inf
    n
    X
    i=0
    kf i k
    2
    L 2 (Ω)
    ,
    trong đó infimum lấy trên tất cả các véctơ (f 0 , f 1 , ., f n ) ∈  L 2 (Ω) 
    n+1
    .
    Định nghĩa 1.17. Giả sử ∂Ω liên tục Lipschitz, ta kí hiệu H
    ư 1
    2 (∂Ω) là
    một không gian Banach được xác định bởi
    H
    ư 1
    2 (Ω) =
    
    H
    ư 1
    2 (Ω)
    
    0
    với chuẩn tương ứng
    kFk
    H
    ư
    1
    2 (Ω)
    = sup
    H
    1
    2 (∂Ω)\{0}




    hF, ui
    H
    ư
    1
    2 (Ω),H
    1
    2
    0
    (Ω)




    kuk
    H
    1
    2 (Ω)
    .
    91.2 Tổng quan ngắn về bài toán biên đối với phương
    trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai và cấp
    bốn
    Xét phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2m của ẩn hàm u(x),
    x = (x 1 , x 2 , ., x n ) ∈ Ω ⊂ R n
    , trong đó Ω là miền giới nội với biên Γ = ∂Ω
    Au =
    X
    |α|≤2m
    a α (x)D
    α
    u = f(x), (1.2)
    trong đó α = (α 1 , ., α 2 ), α j ∈ N, |α| = α 1 + α 2 + . + α n , j = 1, 2, ., n.
    D
    α
    =

    |α|

    α 1
    x 1

    α 2
    x 2
    .∂
    α n
    x n
    ,
    a α (x), f(x) là hàm cho trước, A là một toán tử vi phân tuyến tính. Với
    m = 1, (1.2) là phương trình đạo hàm riêng cấp 2, với m = 2, (1.2) là
    phương trình đạo hàm riêng cấp 4.
    Giả thiết nghiệm của (1.2) được xét trong Ω ⊂ R n
    . Bài toán tìm nghiệm
    của (1.2) sao cho trên biên Γ = ∂Ω của Ω, nghiệm u(x) thỏa mãn một số
    điều kiện biên sau đây
    B j (u)| Γ = g j , j = 0, 1, ., m ư 1 (1.3)
    được gọi là bài toán biên (1.1), (1.2).
    1.2.1 Định lý Lax-Milgram
    (Xem [4]) Giả sử V là không gian Hilbert, dạng song tuyến tính a(., .) :
    V × V → R liên tục và V-elliptic theo nghĩa ∃α > 0, ∀υ ∈ V, a(υ, υ) ≥
    αkυk
    2
    và f : V → R là dạng tuyến tính liên tục. Khi đó bài toán biến
    phân trừu tượng: tìm u ∈ V sao cho
    a(u, υ) = f(υ), ∀υ ∈ V
    có nghiệm duy nhất.
    101.2.2 Bài toán biên đối với phương trình elliptic cấp hai
    A. Bài toán Dirichlet
    Giả sử A(x) = (a ij (x)) n×n , f ∈ H 1 (Ω) xét bài toán sau, gọi là bài toán
    Dirichlet thuần nhất
    (
    ưdiv(A(x)∇u(x)) = f(x), x ∈ Ω
    u(x) = 0, x ∈ ∂Ω
    (1.4)
    Dạng biến phân của bài toán trên là tìm u ∈ H 1
    0
    (Ω) thỏa mãn
    a(u, υ) = hf, υi
    H 1 (Ω),H 1
    0
    (Ω)
    , ∀υ ∈ H
    1
    0
    (Ω), (1.5)
    trong đó
    a(u, υ) =
    n
    X
    i,j=1
    Z
    Ω
    a ij (x)
    ∂u
    ∂x i
    ∂υ
    ∂x j
    dx =
    Z
    Ω
    A∇u∇υdx, ∀u, υ ∈ H
    1
    (Ω).
    Bổ đề 2.1 Giả sử ∂Ω khả vi lớp C 1
    . Cho A ∈ (C 1 (Ω)) n×n , f ∈ C 0 (Ω) và
    u ∈ C 2 (Ω). Khi đó u là nghiệm của bài toán (1.4) nếu u là nghiệm của
    (1.4).
    Kí hiệu M(α, β, Ω) là tập hợp các ma trận (a ij (x)) n×n ∈ (L

    (Ω)) n×n
    với α, β ∈ R, 0 < α < β thỏa mãn
    (
    (A(x)λ, λ) ≥ α|λ|
    2
    ,
    |A(x)λ| ≤ β |λ| ,
    trong đó λ ∈ R.
    Định lý 1.18. (Về sự duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet thuần nhất).
    Giả sử ma trận A ∈ M(α, β, Ω) thì với bất kỳ f ∈ H
    ư1 (Ω), tồn tại duy
    nhất nghiệm u ∈ H 1
    0
    (Ω) của bài toán (1.5). Hơn nữa
    kuk
    H 1
    0
    (Ω)

    1
    α
    kfk
    Hư1 (Ω)
    trong đó
    kuk
    H 1
    0
    (Ω)
    = k∇uk
    L 2 (Ω)
    .
    thì nghiệm đó thỏa mãn ước lượng
    kuk
    H 1
    0
    (Ω)

    C Ω
    α
    kfk
    L 2 (Ω)
    ,
    11trong đó C Ω là hằng số Poincare.
    Cho f ∈ H
    ư1 (Ω), g ∈ H
    1
    2 (∂Ω). Xét bài toán sau, gọi là bài toán Dirich-
    let không thuần nhất
    (
    ưdiv(A(x)∇u(x)) = f(x), x ∈ Ω
    u(x) = g(x), x ∈ ∂Ω
    (1.6)
    Định lý 1.19. (Về sự duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet không thuần
    nhất). Giả sử ∂Ω liên tục Lipschitz và ma trận A ∈ M(α, β, Ω). Cho
    f ∈ H
    ư1 (Ω), g ∈ H
    1
    2 (∂Ω) thì bài toán (1.6) tồn tại duy nhất nghiệm
    u ∈ H 1 (Ω). Hơn nữa
    kuk
    H 1 (Ω)
    ≤ C 1 kfk
    Hư1 (Ω)
    + C 2 kgk
    H
    1
    2 (∂Ω)
    ,
    trong đó
    C 1 =
    1 + C Ω
    α
    , C 2 =
    2(1 + C Ω )
    α
    βC 1 (Ω)
    là hai hằng số dương phụ thuộc vào α, β, Ω.
    B. Bài toán Neumann
    Cho f ∈ H 1 (Ω) 
    0
    , xét bài toán sau, gọi là bài toán Neumann thuần
    nhất
    (
    ưdiv(A(x)∇u(x)) + u(x) = f(x), x ∈ Ω
    ∂u(x)
    ∂υ A
    = 0, x ∈ ∂Ω.
    trong đó

    ∂υ A
    =
    n
    P
    i,j=1
    a ij (x)n i

    ∂x i
    , n = (n 1 , ., n n ) là véctơ pháp tuyến ngoài
    tới biên ∂Ω.
    Dạng biến phân của bài toán trên là tìm u ∈ H 1 (Ω) thỏa mãn
    a(u, υ) = hf, υi
    (H 1 (Ω))
    0
    H 1 (Ω)
    , ∀υ ∈ H
    1
    (Ω), (1.7)
    trong đó
    a(u, υ) =
    Z
    Ω
    A∇u∇υdx +
    Z
    Ω
    uυdx, ∀u, υ ∈ H
    1
    (Ω).
    Định lý 1.20. (Về sự duy nhất nghiệm của bài toán Neumann thuần nhất).
    Giả sử ma trận A ∈ M(α, β, Ω) thì với bất kỳ f ∈ H 1 (Ω) 
    0
    , tồn tại duy
    nhất nghiệm u ∈ H 1 (Ω) của bài toán (1.7). Hơn nữa
    kuk
    H 1 (Ω)

    1
    α 0
    kfk
    (H 1 (Ω))
    0 ,
    12trong đó α 0 = min{1, α}. Nếu f ∈ L 2 (Ω) thì nghiệm này thỏa mãn ước
    lượng
    kuk
    H 1 (Ω)

    1
    α 0
    kfk
    L
    2
    (Ω)
    .
    Giả sử ∂Ω liên tục Lipschitz, cho f ∈ L 2 (Ω), g ∈ H
    1
    2 (∂Ω). Xét bài toán
    sau, gọi là bài toán Neumann không thuần nhất
    (
    ưdiv(A(x)∇u(x)) + u(x) = f(x), x ∈ Ω
    ∂u(x)
    ∂υ A
    = 0, x ∈ ∂Ω.
    (1.8)
    Dạng biến phân của bài toán trên là tìm thỏa mãn
    a(u, υ) =
    Z
    Ω
    fυdx + hg, υi
    H
    ư
    1
    2 (Ω)
    H
    1
    2 (Ω)
    , ∀υ ∈ H
    1
    (Ω), (1.9)
    Định lý 1.21. (Về sự duy nhất nghiệm của bài toán Neumann không thuần
    nhất). Giả sử ∂Ω liên tục Lipschitz và ma trận A ∈ M(α, β, Ω) thì với
    bất kỳ f ∈ L 2 (Ω), g ∈ H
    ư 1
    2 (∂Ω), bài toán (1.9) tồn tại duy nhất nghiệm
    u ∈ H 1 (Ω) . Hơn nữa
    kuk
    H 1 (Ω)

    1
    α 0
    
    kfk
    L 2 (Ω)
    + C γ (Ω)kgk
    H
    ư
    1
    2 (∂Ω)
    
    ,
    trong đó α 0 = min{1, α} và C γ (Ω) là hằng số vết.
    1.3 Phương pháp lặp hai lớp giải phương trình toán
    tử
    1.3.1 Các sơ đồ lặp hai lớp giải phương trình toán tử
    Xét phương trình toán tử
    Au = f (1.10)
    trong đó A là một toán tử tuyến tính, từ không gian Hilbert H vào H, giả
    sử A = A

    > 0, f ∈ H, Các phương trình lặp nhằm xác định liên tục các
    nghiệm xấp xỉ y 1 , y 2 , ., y k+1 của phương trình (1.14) với xấp xỉ ban đầu
    y 0 ∈ H. Mỗi xấp xỉ như vậy được xem như là giá trị lặp số lần tương ứng
    13k = 1, 2, . Giá trị y k+1 có thể được nhận thông qua các giá trị ở các bước
    trước y kư1 , y k . Một phương pháp lặp được gọi là một lớp hay hai lớp tùy
    thuộc vào việc một hoặc hai giá trị lặp ở bước trước là cần thiết cho việc
    tìm ra giá trị lặp y k+1 ở bước sau.
    Một phương pháp lặp được gọi là phương pháp lặp một bước tuyến tính
    nếu nó có dạng
    B k y k+1 = C k y k + F k , k = 0, 1, ., (1.11)
    trong đó, B k , C k là các toán tử tuyến tính từ H vào H, F k ∈ H là một
    hàm đã biết ở bước lặp thứ k, y k là giá trị lặp thứ k.
    Giả sử tồn tại B
    ư1
    k
    , đưa vào tham số τ k+1 > 0 thỏa mãn các đẳng thức
    τ
    ư1
    k+1
    (B k ư C k ) = A, F k = τ k+1 f, k = 0, 1, .,
    khi đó dạng chuẩn của sơ đồ lặp hai lớp là
    B k
    y k+1 ư y k
    τ k+1
    + Ay k = f, k = 0, 1, ., (1.12)
    với xấp xỉ ban đầu y 0 ∈ H được lựa chọn sao cho phù hợp.
    Nếu B k = I là toán tử đơn vị thì (1.16) được gọi là sơ đồ lặp hiện, nếu
    B k 6= I thì (1.16) được gọi là sơ đồ lặp ẩn.
    Nếu sơ đồ lặp
    B
    y k+1 ư y k
    τ
    + Ay k = f, k = 0, 1, ., (1.13)
    trong đó B là toán tử hằng, τ là hằng số thì (1.17) được gọi là sơ đồ lặp
    dừng.
    1.3.2 Sự hội tụ của các sơ đồ lặp
    Định lý 1.22. (Xem [8]) Giả sử A là một toán tử tuyến tính, dương và
    hoàn toàn liên tục trong không gian Hilbert H, u là nghiệm của phương
    trình (1.14), khi đó ta có các sơ đồ lặp sau
    u k+1 ư u k
    τ
    + Au k = f, k = 0, 1, ., (1.14)
    với 0 < τ <
    2
    kAk
    .
    u k+1 ư u k
    τ k+1
    + Au k = f, k = 0, 1, ., (1.15)
    14

    Xem Thêm: Nghiệm giải tích và nghiệm xấp xỉ của một bài toán biên đối với phương trình song điều hòa
    Nội dung trên chỉ thể hiện một phần hoặc nhiều phần trích dẫn. Để có thể xem đầy đủ, chi tiết và đúng định dạng tài liệu, bạn vui lòng tải tài liệu. Hy vọng tài liệu Nghiệm giải tích và nghiệm xấp xỉ của một bài toán biên đối với phương trình song điều hòa sẽ giúp ích cho bạn.
    #1
  7. Đang tải dữ liệu...

    Chia sẻ link hay nhận ngay tiền thưởng
    Vui lòng Tải xuống để xem tài liệu đầy đủ.

    Gửi bình luận

    ♥ Tải tài liệu

social Thư Viện Tài Liệu
Tài liệu mới

Từ khóa được tìm kiếm

Nobody landed on this page from a search engine, yet!

Quyền viết bài

  • Bạn Không thể gửi Chủ đề mới
  • Bạn Không thể Gửi trả lời
  • Bạn Không thể Gửi file đính kèm
  • Bạn Không thể Sửa bài viết của mình
  •  
DMCA.com Protection Status