THẠC SĨ Về tính chất tiệm cận của một số Môđun phân bậc

L˝I CƒM ÌN
Tæi xin b y tä lÆng bi‚t ìn ‚n thƒy tæi- GS. TSKH. Nguy„n Tü Cưíng.
Thƒy ¢ t“n t nh d⁄y dØ tæi tł khi tæi b›t ƒu l m quen vîi ⁄i sŁ giao
ho¡n, Thƒy ¢ d u d›t tæi tł nhœng þ tưðng to¡n håc ƒu ti¶n v ¢
ki¶n tr hưîng d¤n ” tæi ho n th nh lu“n ¡n. Trong khoa håc Thƒy
luæn nghi¶m kh›c vîi håc trÆ, trong cuºc sŁng Thƒy luæn d nh cho håc
trÆ cıa m nh nhœng t nh c£m §m ¡p v sü y¶u thưìng. B¶n c⁄nh nhœng
ki‚n thøc to¡n håc, tæi cÆn nh“n ưæc tł Thƒy nhœng b i håc trong cuºc
sŁng, b i håc l m ngưíi nh¥n h“u.
Tæi xin b y tä lÆng bi‚t ìn ‚n thƒy tæi- GS. TS. L¶ V«n Thuy‚t.
Thƒy ¢ t“n t nh d⁄y dØ tæi tł khi tæi cÆn l håc vi¶n cao håc v t“n
t nh hưîng d¤n tæi l m lu“n v«n Th⁄c s¾. Trong thíi gian l m nghi¶n
cøu sinh tæi luæn nh“n ưæc sü ºng vi¶n cıa Thƒy. Thƒy luæn quan
t¥m ‚n tæi, nh›c nhð tæi ” tæi ho n th nh lu“n ¡n v luæn t⁄o måi
iãu ki»n thu“n læi ” tæi ho n th nh chưìng tr nh håc t“p, nghi¶n cøu
cıa m nh.
Lu“n ¡n n y ưæc ho n th nh dưîi sü hưîng d¤n nghi¶m kh›c v
ƒy tr¡ch nhi»m cıa hai ngưíi thƒy GS. TSKH. Nguy„n Tü Cưíng v
GS. TS. L¶ V«n Thuy‚t. Mºt lƒn nœa tæi xin b y tä lÆng bi‚t ìn s¥u s›c
‚n hai ngưíi thƒy cıa tæi.
Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn GS. TSKH. Ngæ Vi»t Trung v GS. TSKH.
L¶ Tu§n Hoa ¢ t⁄o iãu ki»n ” tæi ưæc tham gia sinh ho⁄t khoa håc
t⁄i Vi»n To¡n håc.Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Khoa To¡n, PhÆng  o t⁄o sau ⁄i håc-
Trưíng ⁄i håc Sư ph⁄m- ⁄i håc Hu‚, Ban  o t⁄o sau ⁄i håc- ⁄i
håc Hu‚ ¢ t⁄o iãu ki»n thu“n læi cho tæi håc t“p, nghi¶n cøu v ho n
th nh chưìng tr nh nghi¶n cøu sinh cıa m nh.
Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Trưíng ⁄i håc T¥y Nguy¶n, Khoa Khoa
håc Tü nhi¶n v Cæng ngh», c¡c phÆng chøc n«ng ¢ cho tæi cì hºi håc
t“p v nghi¶n cøu. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c thƒy cæ trong Bº mæn
To¡n ¢ ºng vi¶n, kh‰ch l» ” tæi ho n th nh lu“n ¡n.
Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn TS. o n Trung Cưíng, TS. Nguy„n V«n
Ho ng, c¡c nghi¶n cøu sinh Trƒn Nguy¶n An, Ph⁄m Hòng Quþ, Ho ng
L¶ Trưíng v Nguy„n Tu§n Long ¢ d nh cho tæi nhœng t nh c£m th¥n
thi‚t v nhœng trao Œi chuy¶n mæn bŒ ‰ch. Trong qu¡ tr nh håc t“p xa
nh tæi luæn nh“n ưæc sü ºng vi¶n, kh‰ch l» v nhœng chia s· buçn vui
cıa c¡c anh, em nghi¶n cøu sinh ð C5, tæi xin gßi líi c£m ìn ‚n hå.
Nh¥n dàp n y, tæi xin b y tä lÆng bi‚t ìn s¥u s›c tîi BŁ, Mµ v c¡c
anh chà em trong gia  nh cıa m nh ¢ luæn y¶u thưìng, ch«m lo chu
¡o ” tæi ưæc håc t“p, nghi¶n cøu trong kho£ng thíi gian d i trưîc
¥y công như cŒ vô, ºng vi¶n ” tæi ho n th nh b£n lu“n ¡n n y.
CuŁi còng, tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Væ, Con trai v Con g¡i y¶u
quþ cıa m nh- nhœng ngưíi ¢ g¡nh v¡c måi cæng vi»c, ch§p nh“n måi
khâ kh«n v chàu nhiãu thi»t thÆi trong suŁt thíi gian tæi håc t“p xa
nh . Ch‰nh hå l nhœng ngưíi luæn mong mäi v æi chí th nh cæng cıa
tæi. Tæi xin d nh b£n lu“n ¡n n y t°ng Mµ, Væ v hai con th¥n y¶u cıa
m nh.1
MÖC LÖC
Mð ƒu 3
Chưìng 1. Ki‚n thøc chu'n bà 13
1.1 I¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t v g›n k‚t 13
1.2 D¢y ch‰nh quy v º s¥u 16
1.3 Łi çng iãu àa phưìng . 19
1.4 Mæun ph¥n b“c v låc . 22
Chưìng 2. ˚n ành ti»m c“n cıa º s¥u chiãu > k 25
2.1 Mư d¢y chiãu > k 26
2.2 ˚n ành ti»m c“n cıa º s¥u chiãu > k 33
2.3 Mºt sŁ b§t flng thøc cıa º s¥u chiãu > k . 38
2.4 K‚t lu“n Chưìng 2 . 43
Chưìng 3. ˚n ành ti»m c“n cıa mºt sŁ t“p i¶an
nguy¶n tŁ li¶n k‚t ho°c g›n k‚t 44
3.1 T“p i¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t cıa mæun Łi çng iãu
àa phưìng t⁄i º s¥u v º s¥u låc 45
3.2 T“p i¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t cıa mæun Łi çng iãu
àa phưìng t⁄i º s¥u suy rºng v t⁄i d ư 1 54
3.3 V‰ dö vã t‰nh khæng Œn ành cıa t“p i¶an nguy¶n tŁ li¶n
k‚t v g›n k‚t 62
3.4 K‚t lu“n Chưìng 3 . 692
K‚t lu“n cıa lu“n ¡n 71
C¡c cæng tr nh li¶n quan ‚n lu“n ¡n 72
T i li»u tham kh£o 733
M— †U
Vi»c nghi¶n cøu t‰nh Œn ành ti»m c“n cıa t“p i¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t
cıa mæun Łi çng iãu àa phưìng b›t nguçn tł hai v§n ã sau ¥y.
Trưîc h‚t, n«m 1990 C. Huneke [22, B i to¡n 4] ưa ra gi£ thuy‚t:
T“p i¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t cıa mæun Łi çng iãu àa phưìng
H i
I
(M) l hœu h⁄n vîi måi Rư mæun hœu h⁄n sinh M , vîi måi i¶an I
v måi sŁ nguy¶n i .
C¥u tr£ líi khflng ành ưæc ưa ra bði G. Lyubeznik [30] v C.
Huneke v R. Y. Sharp [23] cho trưíng hæp v nh àa phưìng ch‰nh quy
flng °c sŁ. M°c dò A. Singh [46] v M. Katzman [24] ưa ra v‰ dö vã
mæun hœu h⁄n sinh m câ mºt sŁ mæun Łi çng iãu àa phưìng vîi
væ h⁄n i¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t, b i to¡n v¤n óng trong nhiãu trưíng
hæp (xem [7], [25], [26], [33], [40], .). Tł ¥y mºt b i to¡n quan trång
trong ⁄i sŁ giao ho¡n l : Khi n o th t“p i¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t cıa
mæun Łi çng iãu àa phưìng H i
I
(M) l hœu h⁄n? B i to¡n n y ¢
v ang ưæc nhiãu ngưíi quan t¥m nghi¶n cøu (xem [4], [11], [12], [13],
[14], [15], [16], [21], [40], .).
Ti‚p theo, b i to¡n nghi¶n cøu d¡ng i»u ti»m c“n cıa t“p i¶an
nguy¶n tŁ li¶n k‚t Ass R (R/I n ) ưæc °t ra bði L. J. Ratliff [41] tł n«m
1976. M. Brodmann [5] n«m 1979 ¢ gi£i quy‚t b i to¡n n y, khæng
ch¿ cho c¡c v nh m th“m ch‰ cÆn tŒng qu¡t cho c£ mæun, æng ta ch¿
ra r‹ng c¡c t“p Ass R (M/I n M) v Ass R (I n M/I n+1 M) khæng phö thuºc4
v o n khi n ı lîn. N«m 1986, Sharp [43] ¢ chøng minh c¡c t“p i¶an
nguy¶n tŁ g›n k‚t Att R (0 : A I n ) v Att R ((0 : A I n+1 )/(0 : A I n ) ) Œn ành
khi n ı lîn, trong â A l mºt Rư mæun Artin. N«m 1990, Melkersson
[37] ¢ dòng phưìng ph¡p x†t b i to¡n vã t‰nh Œn ành cıa t“p i¶an
nguy¶n tŁ li¶n k‚t v g›n k‚t cho trưíng hæp ph¥n b“c, tł â nh“n l⁄i
c¡c k‚t qu£ tr¶n. N«m 1993, L. Melkersson v P. Schenzel [38] ph¡t tri”n
c¡c k‚t qu£ cıa Brodmann v Sharp cho mºt sŁ t“p i¶an nguy¶n tŁ
li¶n k‚t v g›n k‚t cıa mæun Ext v Tor . Hi»n nay, v§n ã nghi¶n cøu
d¡ng i»u ti»m c“n cıa mºt sŁ t“p i¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t v g›n k‚t
v¤n ang ưæc nhiãu ngưíi quan t¥m (xem [13], [14], [20], [27], [28], [36],
[42], [44], [47], [49], .).
Düa v o k‚t qu£ Œn ành cıa c¡c t“p i¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t
Ass R (J n M/J n+1 M) v Ass R (M/J n M) , Brodmann [6] chøng minh c¡c sŁ
nguy¶n depth(I, J n M/J n+1 M) v depth(I, M/J n M) nh“n gi¡ trà khæng
Œi khi n ı lîn. Gƒn ¥y, Brodmann v L. T. Nh n [8] giîi thi»u kh¡i
ni»m Mư d¢y chiãu > k l mºt mð rºng cıa kh¡i ni»m d¢y ch‰nh quy.
Hå công chøng minh r‹ng n‚u dim M/IM > k th måi Mư d¢y chiãu
> k chøa trong I ãu câ th” bŒ sung th nh mºt d¢y cüc ⁄i v t§t c£
Mư d¢y chiãu > k cüc ⁄i trong I ãu câ còng º d i. º d i chung n y
ưæc chóng tæi gåi l º s¥u chiãu > k cıa M trong I v ưæc kþ hi»u
l depth
k
(I, M) .
Tł c¡c v§n ã tr¶n, möc ‰ch cıa chóng tæi trong lu“n ¡n n y
l nghi¶n cøu mºt sŁ t‰nh ch§t ti»m c“n cıa mæun ph¥n b“c x¡c
ành bði mºt mæun hœu h⁄n sinh. Chóng tæi x†t mæun ph¥n b“c
M = ⊕ n≥0 J n M/J n+1 M v °t r k (n) = depth
k
(I, J n M/J n+1 M) l º
s¥u chiãu > k cıa mæun J n M/J n+1 M trong I . Như chóng ta ¢ bi‚t,
gi£ thuy‚t cıa Huneke khæng óng cho trưíng hæp tŒng qu¡t. Tuy nhi¶n,5
trong trưíng hæp i ≤ r 1 (n) th t“p i¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t cıa mæun
Łi çng iãu àa phưìng H i
I
(J n M/J n+1 M) l t“p hœu h⁄n v do â
chóng tæi nghi¶n cøu t‰nh Œn ành cıa c¡c t“p hæp n y. Trưîc h‚t,
chóng tæi chøng minh t‰nh Œn ành cıa º s¥u chiãu > k cıa mæun
J n M/J n+1 M trong I . Sau â, chóng tæi ưa ra mºt sŁ b§t flng thøc
cıa º s¥u chiãu > k øng vîi mºt låc Œn ành. Ti‚p theo, chóng tæi
nghi¶n cøu t‰nh Œn ành cıa t“p i¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t cıa mæun
Łi çng iãu àa phưìng t⁄i gi¡ trà Œn ành cıa r k (n) , øng vîi k = ư1 ,
k = 0 v k = 1 . Ngo i ra, chóng tæi cÆn ưa ra v‰ dö vã t‰nh khæng Œn
ành cıa t“p i¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t v g›n k‚t cıa mºt sŁ mæun Łi
çng iãu àa phưìng. Song song vîi vi»c nghi¶n cøu c¡c t‰nh ch§t ti»m
c“n cıa mæun J n M/J n+1 M , b i to¡n tưìng tü cho mæun M/J n M
công ưæc chóng tæi nghi¶n cøu trong lu“n ¡n n y.
Lu“n ¡n ưæc chia th nh 3 chưìng. Chưìng 1 nh›c l⁄i mºt sŁ ki‚n
thøc cì sð như i¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t, i¶an nguy¶n tŁ g›n k‚t, d¢y
ch‰nh quy, Łi çng iãu àa phưìng, mæun ph¥n b“c v låc nh‹m gióp
cho vi»c tr nh b y rª r ng, câ h» thŁng c¡c k‚t qu£ trong c¡c chưìng
sau.
Trong to n bº Chưìng 2 v Chưìng 3 chóng tæi luæn gi£ thi‚t (R, m)
l v nh giao ho¡n Noether àa phưìng, I, J l hai i¶an cıa R , M l
Rư mæun hœu h⁄n sinh v A l Rư mæun Artin. Ngo i ra, chóng tæi
luæn gi£ thi‚t R = ⊕ n≥0 R n l ⁄i sŁ ph¥n b“c chu'n hœu h⁄n sinh tr¶n
R 0 = R v M = ⊕ n≥0 M n l Rư mæun ph¥n b“c hœu h⁄n sinh.
Nºi dung cıa Chưìng 2 düa tr¶n c¡c b i b¡o [14] v [16]. Trong chưìng
n y chóng tæi nghi¶n cøu mºt sŁ cæng thøc t‰nh º s¥u chiãu > k , chøng
minh t‰nh Œn ành cıa º s¥u chiãu > k v mºt sŁ b§t flng thøc cıa º
s¥u chiãu > k øng vîi mºt Jư låc Œn ành.6
” ìn gi£n, chóng tæi kþ hi»u N n thay cho M n ho°c M/J n M . K‚t
qu£ thø nh§t cıa chóng tæi trong chưìng n y l ành lþ sau.
ành lþ 2.2.3. Cho k ≥ ư1 l mºt sŁ nguy¶n. Khi â depth
k
(I, N n )
nh“n gi¡ trà h‹ng khi n ı lîn.
K‚t qu£ thø hai cıa chóng tæi trong chưìng n y l chøng minh t‰nh
Œn ành cıa d¢y chiãu > k ho¡n và ưæc v d¢y Iư låc ch‰nh quy ho¡n
và ưæc cıa N n , ¥y ch‰nh l nºi dung cıa ành lþ 2.2.5.
N«m 2005, J. Herzog v T. Hibi [19] kþ hi»u c¡c gi¡ trà Œn ành
cıa depth(m, J n ) , depth(m, J n /J n+1 ) v depth(m, R/J n ) lƒn lưæt bði
lim
n→∞
depth J n , lim
n→∞
depth J n /J n+1 v lim
n→∞
depth R/J n v hå chøng minh
c¡c b§t flng thøc
lim
n→∞
depth R/J
n ≤ lim
n→∞
depth J
n
/J
n+1
= lim
n→∞
depth J
n ư 1.
K‚t qu£ thø ba cıa chóng tæi trong chưìng n y l mð rºng ành lþ cıa
Herzog v Hibi cho trưíng hæp º s¥u chiãu > k trong I øng vîi mºt
Jư låc Œn ành (M n ) . Cö th” chóng ta câ ành lþ sau.
ành lþ 2.3.3. Cho (R, m) l v nh àa phưìng, I, J l hai i¶an cıa R ,
M l Rư mæun hœu h⁄n sinh v (M n ) l Jư låc Œn ành cıa M . Khi â
vîi mØi k ≥ ư1 ta câ c¡c m»nh ã sau óng.
(i) Tçn t⁄i c¡c giîi h⁄n lim
n→∞
depth
k
(I, M n ) , lim
n→∞
depth
k
(I, M n /M n+1 )
v lim
n→∞
depth
k
(I, M/M n ) .
(ii) Chóng ta luæn câ c¡c b§t flng thøc
lim
n→∞
depth
k
(I, M/M n ) ≤ lim
n→∞
depth
k
(I, M n /M n+1 )
v
lim
n→∞
depth
k
(I, M n ) ư 1 ≤ lim
n→∞
depth
k
(I, M n /M n+1 ).
(iii) N‚u J ⊆ I th lim
n→∞
depth
k
(I, M n /M n+1 ) = lim
n→∞
depth
k
(I, M n ) ư 1.7
Chưìng 3 ưæc vi‚t düa tr¶n c¡c b i b¡o [1], [14], [15] v [16]. Trong
chưìng n y chóng tæi nghi¶n cøu t‰nh hœu h⁄n v t‰nh Œn ành cıa mºt
sŁ t“p i¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t v g›n k‚t cıa mæun Łi çng iãu
àa phưìng. N«m 1999, K. Khashyarmanesh v Sh. Salarian [26] chøng
minh r‹ng n‚u H
j
I
(M) câ gi¡ hœu h⁄n vîi måi j < i th Ass R (H i
I
(M)) l
t“p hœu h⁄n. Sau â, L. T. Nh n [40] ¢ chøng minh depth
1
(I, M) l sŁ
nguy¶n i nhä nh§t sao cho H i
I
(M) câ gi¡ væ h⁄n v do â Ass R (H i
I
(M)) l
t“p hœu h⁄n vîi måi i ≤ depth
1
(I, M) . Tł ¥y chóng ta th§y r‹ng vîi måi
i ≤ r 1 (n) = depth
1
(I, J n M/J n+1 M) v j ≤ s 1 (n) = depth
1
(I, M/J n M)
c¡c t“p Ass R (H i
I
(J n M/J n+1 M)) v Ass R (H
j
I
(M/J n M)) l hœu h⁄n. V
v“y mºt c¥u häi tü nhi¶n ưæc °t ra l :
C¥u häi 1. C¡c t“p Ass R (H i
I
(J n M/J n+1 M)) v Ass R (H
j
I
(M/J n M)) ,
vîi i ≤ r 1 (n) v j ≤ s 1 (n) , câ Œn ành khi n ı lîn?
K‚t qu£ ch‰nh cıa chóng tæi trong lu“n ¡n n y nâi r‹ng trł i mºt
t“p hœu h⁄n c¡c i¶an nguy¶n tŁ th c¥u häi tr¶n l tr£ líi ưæc. K‚t
qu£ n y ưæc chóng tæi ph¡t bi”u v chøng minh trong 6 ành lþ cıa
Chưìng 3 theo thø tü l ành lþ 3.1.3, 3.1.4, 3.1.8, 3.1.10, 3.2.3 v 3.2.4.
— ¥y chóng tæi ph¡t bi”u gºp l⁄i như sau:
ành lþ. Gi£ sß r k v s k lƒn lưæt l c¡c gi¡ trà Œn ành cıa
depth
k
(I, J n M/J n+1 M) v depth
k
(I, M/J n M) . Khi â c¡c m»nh ã sau
óng.
(i) C¡c t“p Ass R (H
rư1
I
(J n M/J n+1 M)) v Ass R (H
sư1
I
(M/J n M)) Œn ành
khi n ı lîn.
(ii) C¡c t“p S
i≤r 0
Ass R (H i
I
(J n M/J n+1 M)) v S
i≤s 0
Ass R (H i
I
(M/J n M)) Œn
ành khi n ı lîn.8
(iii) C¡c t“p
[
t≤i
Ass R (H
t
I
(J
n
M/J
n+1
M)) ∪ {m} v [
t≤j
Ass R (H
t
I
(M/J
n
M)) ∪ {m}
Œn ành khi n ı lîn, vîi måi i ≤ r 1 v j ≤ s 1 .
Chó þ r‹ng rư1 ≤ r 0 ≤ r 1 , sư1 ≤ s 0 ≤ s 1 v theo [29, ành lþ 3.10] c¡c
mæun H i
I
(J n M/J n+1 M) v H
j
I
(M/J n M) l Artin khi i < r 0 v j < s 0 .
V v“y c¥u häi l tƒm thưíng cho c¡c trưíng hæp i < r 0 v j < s 0 . Trong
trưíng hæp rư1 = r 0 v sư1 = s 0 th m»nh ã (i) cıa k‚t qu£ ch‰nh l
c¥u tr£ líi khæng tƒm thưíng cho c¥u häi tr¶n khi i = rư1 v j = sư1 .
Hìn nœa, m»nh ã (ii) cıa k‚t qu£ ch‰nh nâi r‹ng ngo⁄i trł i¶an cüc
⁄i, c¡c t“p Ass R (H i
I
(J n M/J n+1 M)) v Ass R (H
j
I
(M/J n M)) Œn ành khi
i ≤ r 0 v j ≤ s 0 . Ngo i ra m»nh ã (iii) cıa k‚t qu£ ch‰nh nâi r‹ng c¡c
t“p Ass R (H i
I
(J n M/J n+1 M)) v Ass R (H
j
I
(M/J n M)) Œn ành khi i ≤ r 1
v j ≤ s 1 ngo⁄i trł mºt t“p hœu h⁄n c¡c i¶an nguy¶n tŁ.
Trong chưìng n y, thay v dòng c¡c kþ hi»u depth
ư1
(I, M) , depth
0
(I, M)
v depth
1
(I, M) chóng tæi dòng c¡c kþ hi»u quen thuºc lƒn lưæt l
depth(I, M) , f-depth(I, M) v gdepth(I, M) . K‚t lu“n thø nh§t cıa c¡c
m»nh ã (i), (ii) v (iii) trong k‚t qu£ ch‰nh ưæc chóng tæi chøng minh
dưîi d⁄ng tŒng qu¡t hìn, ð ¥y chóng tæi x†t b i to¡n cho trưíng hæp
ph¥n b“c. Cö th” hìn, chóng tæi x†t R = ⊕ n≥0 R n l ⁄i sŁ ph¥n b“c
chu'n hœu h⁄n sinh tr¶n R 0 = R v M = ⊕ n≥0 M n l Rư mæun ph¥n
b“c hœu h⁄n sinh. Khi â ành lþ 3.1.3 ch¿ ra r‹ng n‚u r l gi¡ trà Œn
ành cıa depth(I, M n ) th t“p Ass R (H r
I
(M n )) Œn ành khi n ı lîn. Mºt
h» qu£ ngay tøc kh›c cıa ành lþ 3.1.3 l k‚t lu“n thø nh§t cıa m»nh
ã (i) trong k‚t qu£ ch‰nh. Ti‚p theo, chóng tæi sß döng k‚t qu£ n y vîi
chó þ r‹ng H i
I
(M) = 0 vîi måi i < depth(I, M) ” chøng minh k‚t lu“n
thø hai cıa m»nh ã (i) trong k‚t qu£ ch‰nh, â l nºi dung cıa ành lþ
3.1.4.9
K‚t lu“n thø nh§t cıa m»nh ã (ii) trong k‚t qu£ ch‰nh l h» qu£ trüc
ti‚p cıa ành lþ sau.
ành lþ 3.1.8. Cho R = ⊕ n≥0 R n l ⁄i sŁ ph¥n b“c chu'n hœu h⁄n sinh
tr¶n R 0 = R , M = ⊕ n≥0 M n l Rư mæun ph¥n b“c hœu h⁄n sinh v I
l i¶an cıa R . Gi£ sß r 0 l gi¡ trà Œn ành cıa f-depth(I, M n ) . Khi â
t“p S
j≤r 0
Ass R (H
j
I
(M n )) Œn ành khi n ı lîn.
” chøng minh ành lþ 3.1.8, bưîc ƒu ti¶n v công l bưîc quan
trång, chóng tæi chøng minh S = S
n≥a
Ass R (H
r 0
I
(M n )) l t“p hœu h⁄n vîi
sŁ a n o â. Sau â, vîi mØi p ∈ S, dim R/p > 0 , b‹ng àa phưìng hâa
t⁄i p ta ưa mºt d¢y låc ch‰nh quy vã d¢y ch‰nh quy, tł ¥y ta câ th”
¡p döng ành lþ 3.1.3. B¥y gií chóng tæi sß döng k‚t qu£ n y ” chøng
minh k‚t lu“n thø hai cıa m»nh ã (ii) trong k‚t qu£ ch‰nh, â l nºi
dung ành lþ 3.1.10.
K‚t lu“n thø nh§t cıa m»nh ã (iii) trong k‚t qu£ ch‰nh l mºt h»
qu£ trüc ti‚p cıa ành lþ sau.
ành lþ 3.2.3. Cho R = ⊕ n≥0 R n l ⁄i sŁ ph¥n b“c chu'n hœu h⁄n
sinh tr¶n R 0 = R , M = ⊕ n≥0 M n l Rư mæun ph¥n b“c hœu h⁄n sinh
v I l i¶an cıa R . Gi£ sß r 1 l gi¡ trà Œn ành cıa gdepth(I, M n ) . Khi
â vîi mØi l ≤ r 1 t“p S
j≤l
Ass R (H
j
I
(M n )) ∪ {m} Œn ành khi n ı lîn.
Công như trong chøng minh cıa ành lþ 3.1.8, trưîc h‚t chóng tæi
chøng minh S = S
n≥b
S
j≤l
Ass R (H
j
I
(M n )) l t“p hœu h⁄n vîi sŁ b n o â.
Vîi mØi p ∈ S, dim R/p > 0 , b‹ng àa phưìng hâa t⁄i p ta ưa mºt d¢y
ch‰nh quy suy rºng vã d¢y låc ch‰nh quy, tł â ta câ th” ¡p döng ành
lþ 3.1.8 ” chøng minh ành lþ 3.2.3.10
CuŁi còng chóng tæi sß döng ành lþ 3.2.3 vîi chó þ r‹ng Supp
R
(H
j
I
(M))
l t“p hœu h⁄n vîi måi j < gdepth(I, M) ” chøng minh k‚t lu“n thø
hai cıa m»nh ã (iii) trong k‚t qu£ ch‰nh, â l nºi dung cıa ành lþ
3.2.4.
N«m 2001, T. Marley [33] chøng minh r‹ng mæun Łi çng iãu àa
phưìng H
dim Rư1
I
(M) câ gi¡ hœu h⁄n. Tł ¥y æng ta ưa ra c¥u tr£ líi
khflng ành cho gi£ thuy‚t cıa Huneke [22, B i to¡n 4] trong trưíng
hæp v nh R câ chiãu nhä hìn ho°c b‹ng 3. B‹ng c¡ch thay v nh R bði
v nh R/ ann R (M) , chóng ta câ th” ch¿ ra r‹ng Supp
R
(H
dim Mư1
I
(M))
l t“p hœu h⁄n, v v“y Ass R (H
dim Mư1
I
(M)) l t“p hœu h⁄n. Do â
Ass R (H
dư1
I
(J n M/J n+1 M)) v Ass R (H
d
0 ư1
I
(M/J n M)) l c¡c t“p hæp hœu
h⁄n, trong â d = dim(J n M/J n+1 M) v d
0
= dim(M/J n M) . Mºt c¡ch
tü nhi¶n chóng tæi quan t¥m ‚n t‰nh Œn ành cıa c¡c t“p hæp n y. ”
ìn gi£n, chóng tæi dòng N n ” kþ hi»u Rư mæun J n M/J n+1 M ho°c
M/J n M v gåi d l gi¡ trà Œn ành cıa dim N n . Khi â k‚t qu£ ti‚p theo
cıa chóng tæi trong chưìng n y nâi r‹ng, ngo⁄i trł i¶an cüc ⁄i, t“p
Ass R (H
dư1
I
(N n )) Œn ành khi n ı lîn, â l nºi dung cıa ành lþ 3.2.7.
Chóng ta bi‚t r‹ng mæun Łi çng iãu àa phưìng H i
I
(M) nâi chung
khæng hœu h⁄n sinh. SŁ nguy¶n i nhä nh§t sao cho H i
I
(M) khæng hœu
h⁄n sinh ưæc gåi l chiãu hœu h⁄n sinh cıa mæun M Łi vîi i¶an I
v ưæc kþ hi»u bði f I (M) . Chó þ r‹ng, v H 0
I
(M) l mæun hœu h⁄n
sinh n¶n f I (M) ≥ 1 . Theo Brodmann v Faghani [7], t“p Ass R (H i
I
(M))
l hœu h⁄n vîi måi i ≤ f I (M) . Do â c¡c t“p Ass R (H i
I
(J n M/J n+1 M))
v Ass R (H
j
I
(M/J n M)) hœu h⁄n vîi måi i ≤ r(n) = f I (J n M/J n+1 M) v
j ≤ s(n) = f I (M/J n M) . V v“y mºt c¥u häi tü nhi¶n ưæc °t ra l :
C¥u häi 2. C¡c t“p Ass R (H i
I
(J n M/J n+1 M)) v Ass R (H
j
I
(M/J n M)) ,
vîi i ≤ r(n) v j ≤ s(n) , câ Œn ành khi n ı lîn?11
K‚t qu£ ti‚p theo cıa chóng tæi trong chưìng n y l ưa ra ph£n v‰
dö cho c¥u häi tr¶n Łi vîi mæun M/J n M . Cö th” chóng ta câ ành lþ
sau.
ành lþ 3.3.1. Tçn t⁄i Rư mæun hœu h⁄n sinh M v c¡c i¶an I, J
cıa R sao cho Ass R (H 1
I
(M/J n M)) khæng Œn ành khi n ı lîn.
Düa v o ành lþ 3.1.3, chóng tæi d„ d ng chøng minh ưæc t“p
Ass R (H 1
I
(J n M/J n+1 M)) Œn ành khi n ı lîn. K‚t qu£ n y tr¡i vîi
nhœng suy lu“n thæng thưíng. Bði v nhiãu t‰nh ch§t ti»m c“n m óng
cho mæun J n M/J n+1 M th công óng cho mæun M/J n M .
Như chóng ta ¢ bi‚t mæun Łi çng iãu àa phưìng H i
m
(M) l
mæun Artin vîi måi Rư mæun hœu h⁄n sinh M . Do â t“p i¶an
nguy¶n tŁ g›n k‚t Att R (H i
m
(M)) luæn hœu h⁄n. N‚u chóng ta kþ hi»u
N n l J n M/J n+1 M ho°c M/J n M th rª r ng Att R (H 0
m
(N n )) Œn ành khi
n ı lîn. Hìn nœa, theo k‚t qu£ cıa I. G. Macdonald v R. Y. Sharp
[32, ành lþ 2.2], t“p Att R (H d
m
(N n )) Œn ành khi n ı lîn, trong â d l
gi¡ trà Œn ành cıa dim N n . V v“y mºt c¥u häi tü nhi¶n ưæc °t ra l :
C¥u häi 3. T“p Att R (H i
m
(N n )) , vîi i b§t ký, câ Œn ành khi n ı lîn?
K‚t qu£ cuŁi còng cıa chóng tæi trong lu“n ¡n n y l ưa ra v‰ dö ”
ch¿ ra r‹ng nâi chung c¡c t“p tr¶n khæng Œn ành khi n ı lîn. Cö th”
chóng ta câ ành lþ sau.
ành lþ 3.3.8. C¡c khflng ành sau l óng.
(i) Tçn t⁄i v nh àa phưìng (T, m) v i¶an I cıa T sao cho c¡c t“p
Att T (H 3
m
(T/I n )) v Att T (H 4
m
(I n )) khæng Œn ành khi n ı lîn.
(ii) Tçn t⁄i mæun hœu h⁄n sinh M tr¶n v nh àa phưìng (R, m) v
i¶an J cıa R sao cho t“p Att R (H i
I
(J n M/J n+1 M)) khæng Œn ành
khi n ı lîn, vîi i n o â.12
Melkersson v Schenzel [38] khi nghi¶n cøu vã t‰nh Œn ành cıa t“p
i¶an tŁ li¶n k‚t v g›n k‚t cıa mæun Ext v Tor ¢ ưa ra c¥u häi:
Vîi mØi i ≥ 0 , t“p Ass R (Ext
i
R
(R/I n , M)) câ Œn ành khi n ı lîn?
Tł chøng minh cıa ành lþ 3.3.8, chóng tæi thu ưæc mºt h» qu£ tr£ líi
cho c¥u häi tr¶n. Cö th” chóng tæi ch¿ ra r‹ng tçn t⁄i v nh àa phưìng
(T, m) v i¶an I cıa T sao cho S
n≥0
Ass T (Ext
2
T
(T/I n , T)) l t“p væ h⁄n
v do â t“p Ass T (Ext
2
T
(T/I n , T)) khæng Œn ành khi n ı lîn, ¥y ch‰nh
l nºi dung cıa H» qu£ 3.3.10.13
Chưìng 1
KI˜N THÙC CHU‰N BÀ
Trong chưìng n y, chóng tæi nh›c l⁄i mºt sŁ ki‚n thøc cì sð như i¶an
nguy¶n tŁ li¶n k‚t, i¶an nguy¶n tŁ g›n k‚t, d¢y ch‰nh quy, º s¥u, Łi
çng iãu àa phưìng, phøc Koszul, mæun ph¥n b“c v låc ” gióp cho
vi»c tr nh b y rª r ng, h» thŁng c¡c k‚t qu£ trong c¡c chưìng sau. Ta
luæn kþ hi»u R l v nh giao ho¡n Noether v I l i¶an cıa R .
1.1 I¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t v g›n k‚t
Trưîc h‚t chóng tæi nh›c l⁄i kh¡i ni»m i¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t v mºt
sŁ t‰nh ch§t theo c¡c cuŁn s¡ch [34] v [35].
ành ngh¾a 1.1.1. Cho M l Rư mæun. I¶an nguy¶n tŁ p ưæc gåi
l nguy¶n tŁ li¶n k‚t cıa M n‚u tçn t⁄i x ∈ M sao cho p = ann R (x).
T“p c¡c i¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t cıa M ưæc kþ hi»u bði Ass R (M).
T“p {p ∈ Spec(R)|M p 6= 0} ưæc gåi l gi¡ cıa M v ưæc kþ hi»u
bði Supp
R
(M) .
Trưîc h‚t chóng tæi nh›c l⁄i k‚t qu£ ìn gi£n sau m thưíng ưæc
dòng trong lu“n ¡n.
ành lþ 1.1.2. [35, ành lþ 6.1, ành lþ 6.3]
(i) Rư mæun M l kh¡c khæng khi v ch¿ khi Ass R (M) 6= ∅ .14
(ii) N‚u 0 → M → N → K → 0 l d¢y khîp c¡c Rư mæun th
Ass R (M) ⊆ Ass R (N) ⊆ Ass R (M) ∪ Ass R (K) v
Supp
R
(M) ⊆ Supp
R
(N) = Supp
R
(M) ∪ Supp
R
(K).
ành lþ sau ch¿ ra r‹ng t“p i¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t cıa mæun hœu
h⁄n sinh luæn l t“p hœu h⁄n çng thíi ưa ra mŁi quan h» bao h m
giœa t“p i¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t v gi¡ cıa mºt mæun.
ành lþ 1.1.3. [35, ành lþ 6.5] Cho M l Rư mæun hœu h⁄n sinh. Khi
â c¡c m»nh ã sau óng.
(i) Ass R (M) l t“p hœu h⁄n.
(ii) Ass R (M) ⊆ Supp
R
(M) .
(iii) p l phƒn tß cüc ti”u cıa Ass R (M) n‚u v ch¿ n‚u p l phƒn tß cüc
ti”u cıa Supp
R
(M) .
” t m t“p i¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t cıa mæun M p chóng ta sß döng
ành lþ sau.
ành lþ 1.1.4. [35, ành lþ 6.2] Cho M l Rư mæun, p ∈ Spec(R) .
Khi â
Ass R p
(M p ) = {qR p |q ∈ Ass R (M), q ⊆ p}.
Nh›c l⁄i r‹ng, chiãu cıa v nh R , kþ hi»u dim R , ưæc x¡c ành bði
dim R = sup{n|∃p 0
p 1
. p n , p i ∈ Spec(R)}.
Hìn nœa, chiãu cıa mæun M ưæc x¡c ành bði dim M = dim R/ ann R (M) .
N‚u M l Rư mæun hœu h⁄n sinh th Supp
R
M = V(ann R (M)) v
do â
dim M = sup{dim R/p|p ∈ Supp
R
(M)}
= sup{dim R/p|p ∈ Ass R (M)}.15
Mæun con N cıa Rư mæun M ưæc gåi l mæun con nguy¶n sì
n‚u Ass R (M/N) ch¿ chøa mºt phƒn tß. Gi£ sß r‹ng Ass R (M/N) = {p}
th ta nâi N l mæun con pư nguy¶n sì cıa M .
Mºt ph¥n t‰ch nguy¶n sì cıa N l mºt bi”u thøc câ d⁄ng N =
N 1 ∩ . ∩ N r trong â N i l mæun con p i ư nguy¶n sì cıa M vîi måi
i = 1, . , r. Ph¥n t‰ch nguy¶n sì N = N 1 ∩ . ∩ N r ưæc gåi l thu
gån n‚u khæng câ N i n o thła v p i 6= p j vîi måi i 6= j. V giao cıa hai
mæun con pư nguy¶n sì l mºt mæun pư nguy¶n sì n¶n måi ph¥n t‰ch
nguy¶n sì cıa N ãu câ th” ưa ưæc vã d⁄ng thu gån.
Chóng ta câ ành lþ quan trång sau.
ành lþ 1.1.5. [35, ành lþ 6.8] Cho M l Rư mæun hœu h⁄n sinh.
Khi â måi mæun con thüc sü N cıa M ãu câ ph¥n t‰ch nguy¶n sì
thu gån. Hìn nœa, n‚u N = N 1 ∩ . ∩ N r l mºt ph¥n t‰ch nguy¶n sì
thu gån cıa N sao cho Ass R (M/N i ) = {p i } vîi måi i = 1, . , r th
Ass R (M/N) = {p 1 , . , p r } .
Ti‚p theo, chóng tæi nh›c l⁄i lþ thuy‚t bi”u di„n thø c§p ưæc
Macdonald [31] giîi thi»u n«m 1973, theo mºt ngh¾a n o â nâ Łi ng¤u
vîi lþ thuy‚t ph¥n t‰ch nguy¶n sì.
Mºt Rư mæun S ưæc gåi l thø c§p n‚u S 6= 0 v vîi måi r ∈ R ,
ph†p nh¥n bði r tr¶n S l to n c§u ho°c lôy linh. N‚u S l thø c§p th
p
ann R (S) = p l mºt i¶an nguy¶n tŁ. Khi â ta nâi S l mæun pư thø
c§p.
Mºt bi”u di„n thø c§p cıa Rư mæun M l mºt ph¥n t‰ch M =
M 1 + . + M r th nh tŒng hœu h⁄n c¡c mæun con p i ư thø c§p M i .
Mæun M ưæc gåi l bi”u di„n ưæc n‚u M = 0 ho°c M câ mºt bi”u
di„n thø c§p. Bi”u di„n thø c§p M = M 1 + . + M r ưæc gåi l tŁi ti”u

Xem Thêm: Về tính chất tiệm cận của một số Môđun phân bậc

Nội dung trên chỉ thể hiện một phần hoặc nhiều phần trích dẫn. Để có thể xem đầy đủ, chi tiết và đúng định dạng tài liệu, bạn vui lòng tải tài liệu. Hy vọng tài liệu Về tính chất tiệm cận của một số Môđun phân bậc sẽ giúp ích cho bạn.